Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\sqrt{19}} 9 x \sqrt[3]{8 + x^{2}} d x$

Passaggio 1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$9 \int_{0}^{\sqrt{19}} x \sqrt[3]{8 + x^{2}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 8 + x^{2}$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 8 + x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $8 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [8 + x^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.3

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Passaggio 2.1.5

Somma $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Passaggio 2.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 8 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 8 + 0^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 8 + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $8$ e $0$ .

$u_{lower} = 8$

Passaggio 2.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 8 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 8 + {\sqrt{19}}^{2}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi ${\sqrt{19}}^{2}$ come $19$ .

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Passaggio 2.5.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{19}$ come $19^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = 8 + {(19^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 2.5.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 8 + 19^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 2.5.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$u_{upper} = 8 + 19^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.5.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 8 + 19^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.5.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = 8 + 19^{1}$

Passaggio 2.5.1.5

Calcola l'esponente.

$u_{upper} = 8 + 19$

Passaggio 2.5.2

Somma $8$ e $19$ .

$u_{upper} = 27$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 8$

$u_{upper} = 27$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$9 \int_{8}^{27} \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 3

$\sqrt[3]{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$9 \int_{8}^{27} \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$9 (\frac{1}{2} \int_{8}^{27} \sqrt[3]{u} d u)$

Passaggio 5

Riduci le frazioni.

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Passaggio 5.1

$\frac{1}{2}$ e $9$ .

$\frac{9}{2} \int_{8}^{27} \sqrt[3]{u} d u$

Passaggio 5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{u}$ come $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{9}{2} \int_{8}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $u$ è $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{9}{2} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{8}^{27}$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.1

Calcola $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ per $27$ e per $8$ .

$\frac{9}{2} ((\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Riscrivi $27$ come $3^{3}$ .

$\frac{9}{2} (\frac{3}{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 7.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{2} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 7.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 7.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9}{2} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 7.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{9}{2} (\frac{3}{4} \cdot 3^{4} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 7.2.4

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$\frac{9}{2} (\frac{3}{4} \cdot 81 - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 7.2.5

$\frac{3}{4}$ e $81$ .

$\frac{9}{2} (\frac{3 \cdot 81}{4} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 7.2.6

Moltiplica $3$ per $81$ .

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 7.2.7

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 7.2.8

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})$

Passaggio 7.2.9

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 7.2.9.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})$

Passaggio 7.2.9.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 2^{4})$

Passaggio 7.2.10

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 16)$

Passaggio 7.2.11

Moltiplica $16$ per $- 1$ .

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} - 16 (\frac{3}{4}))$

Passaggio 7.2.12

$- 16$ e $\frac{3}{4}$ .

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} + \frac{- 16 \cdot 3}{4})$

Passaggio 7.2.13

Moltiplica $- 16$ per $3$ .

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} + \frac{- 48}{4})$

Passaggio 7.2.14

Elimina il fattore comune di $- 48$ e $4$ .

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Passaggio 7.2.14.1

Scomponi $4$ da $- 48$ .

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} + \frac{4 \cdot - 12}{4})$

Passaggio 7.2.14.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.2.14.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} + \frac{4 \cdot - 12}{4 (1)})$

Passaggio 7.2.14.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} + \frac{4 \cdot - 12}{4 \cdot 1})$

Passaggio 7.2.14.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} + \frac{- 12}{1})$

Passaggio 7.2.14.2.4

Dividi $- 12$ per $1$ .

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} - 12)$

Passaggio 7.2.15

Per scrivere $- 12$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} - 12 \cdot \frac{4}{4})$

Passaggio 7.2.16

$- 12$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9}{2} (\frac{243}{4} + \frac{- 12 \cdot 4}{4})$

Passaggio 7.2.17

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{9}{2} \cdot \frac{243 - 12 \cdot 4}{4}$

Passaggio 7.2.18

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.2.18.1

Moltiplica $- 12$ per $4$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{243 - 48}{4}$

Passaggio 7.2.18.2

Sottrai $48$ da $243$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{195}{4}$

Passaggio 7.2.19

Moltiplica $\frac{9}{2}$ per $\frac{195}{4}$ .

$\frac{9 \cdot 195}{2 \cdot 4}$

Passaggio 7.2.20

Moltiplica $9$ per $195$ .

$\frac{1755}{2 \cdot 4}$

Passaggio 7.2.21

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{1755}{8}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1755}{8}$

Forma decimale:

$219.375$

Forma numero misto:

$219 \frac{3}{8}$

Passaggio 9