Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{8}} \frac{\sec^{2} (2 x)}{3 + \tan (2 x)} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ . Allora $d u_{2} = 2 \sec^{2} (2 x) d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = \sec^{2} (2 x) d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $3 + \tan (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 + \tan (2 x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 + \tan (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 1.1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.3.1.2

La derivata di $\tan (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\sec^{2} (u_{1})$ .

$0 + \sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$0 + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + \sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)$

Passaggio 1.1.3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$0 + \sec^{2} (2 x) \cdot 2$

Passaggio 1.1.3.5

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec^{2} (2 x)$ .

$0 + 2 \sec^{2} (2 x)$

Passaggio 1.1.4

Somma $0$ e $2 \sec^{2} (2 x)$ .

$2 \sec^{2} (2 x)$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ .

$u_{lower} = 3 + \tan (2 \cdot 0)$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 3 + \tan (0)$

Passaggio 1.3.1.2

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$u_{lower} = 3 + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $3$ e $0$ .

$u_{lower} = 3$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ .

$u_{upper} = 3 + \tan (2 \frac{π}{8})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.5.1.1.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$u_{upper} = 3 + \tan (2 \frac{π}{2 (4)})$

Passaggio 1.5.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 3 + \tan (2 \frac{π}{2 \cdot 4})$

Passaggio 1.5.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = 3 + \tan (\frac{π}{4})$

Passaggio 1.5.1.2

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$u_{upper} = 3 + 1$

Passaggio 1.5.2

Somma $3$ e $1$ .

$u_{upper} = 4$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{3}^{4} \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int_{3}^{4} \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Passaggio 2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$\int_{3}^{4} \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{3}^{4} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)]_{3}^{4}$

Passaggio 5

Calcola $\ln (| u_{2} |)$ per $4$ e per $3$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| 4 |) - \ln (| 3 |))$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})$

Passaggio 6.2

$\frac{1}{2}$ e $\ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{2}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $4$ è $4$ .

$\frac{\ln (\frac{4}{| 3 |})}{2}$

Passaggio 7.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$\frac{\ln (\frac{4}{3})}{2}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{\ln (\frac{4}{3})}{2}$

Forma decimale:

$0.14384103 \dots$