Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos^{- 5} (2 x) \sin (2 x) d x$

Passaggio 1

Sia $u_{2} = \cos (2 x)$ . Allora $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{2} = \cos (2 x)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u_{2} = \cos (2 x)$ .

$u_{lower} = \cos (2 \cdot 0)$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Passaggio 1.3.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u_{2} = \cos (2 x)$ .

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{6})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.5.1.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 (3)})$

Passaggio 1.5.1.2

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Passaggio 1.5.1.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.5.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{- 5} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{- 5} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Passaggio 2.2

${u_{2}}^{- 5}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - \frac{{u_{2}}^{- 5}}{2} d u_{2}$

Passaggio 2.3

Sposta ${u_{2}}^{- 5}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 {u_{2}}^{5}} d u_{2}$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 {u_{2}}^{5}} d u_{2}$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{{u_{2}}^{5}} d u_{2})$

Passaggio 5

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 5.1

Sposta ${u_{2}}^{5}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {({u_{2}}^{5})}^{- 1} d u_{2}$

Passaggio 5.2

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{2}}^{5})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{5 \cdot - 1} d u_{2}$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{- 5} d u_{2}$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di ${u_{2}}^{- 5}$ rispetto a $u_{2}$ è $- \frac{1}{4} {u_{2}}^{- 4}$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{4} {u_{2}}^{- 4}]_{1}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.1

Calcola $- \frac{1}{4} {u_{2}}^{- 4}$ per $\frac{1}{2}$ e per $1$ .

$- \frac{1}{2} ((- \frac{1}{4} {(\frac{1}{2})}^{- 4}) + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Cambia il segno dell'esponente riscrivendo la base come il suo reciproco.

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} \cdot 2^{4} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Passaggio 7.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} \cdot 16 + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica $16$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{2} (- 16 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Passaggio 7.2.4

$- 16$ e $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{- 16}{4} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Passaggio 7.2.5

Elimina il fattore comune di $- 16$ e $4$ .

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Passaggio 7.2.5.1

Scomponi $4$ da $- 16$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{4 \cdot - 4}{4} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Passaggio 7.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.2.5.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{4 \cdot - 4}{4 (1)} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Passaggio 7.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{2} (\frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Passaggio 7.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{2} (\frac{- 4}{1} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Passaggio 7.2.5.2.4

Dividi $- 4$ per $1$ .

$- \frac{1}{2} (- 4 + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Passaggio 7.2.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{1}{2} (- 4 + \frac{1}{4} \cdot 1)$

Passaggio 7.2.7

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$- \frac{1}{2} (- 4 + \frac{1}{4})$

Passaggio 7.2.8

Per scrivere $- 4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{2} (- 4 \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4})$

Passaggio 7.2.9

$- 4$ e $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{- 4 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4})$

Passaggio 7.2.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 4 \cdot 4 + 1}{4}$

Passaggio 7.2.11

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.2.11.1

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 16 + 1}{4}$

Passaggio 7.2.11.2

Somma $- 16$ e $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 15}{4}$

Passaggio 7.2.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2} (- \frac{15}{4})$

Passaggio 7.2.13

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{15}{4}$

Passaggio 7.2.14

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{15}{4}$

Passaggio 7.2.15

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{15}{4}$ .

$\frac{15}{2 \cdot 4}$

Passaggio 7.2.16

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{15}{8}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{15}{8}$

Forma decimale:

$1.875$

Forma numero misto:

$1 \frac{7}{8}$