Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} x \cos (2 x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \cos (2 x)$ .

$x (\frac{1}{2} \sin (2 x))]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{1}{2}$ e $\sin (2 x)$ .

$x \frac{\sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Passaggio 2.2

$x$ e $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (2 x) d x)$

Passaggio 4

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 4.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Passaggio 4.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 4.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Passaggio 4.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Passaggio 4.5.2

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.5.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Passaggio 4.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Passaggio 4.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Passaggio 5

$\sin (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u)$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Passaggio 7.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Passaggio 8

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Passaggio 9

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Calcola $\frac{x \sin (2 x)}{2}$ per $\frac{π}{4}$ e per $0$ .

$(\frac{\frac{π}{4} \sin (2 \frac{π}{4})}{2}) - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Passaggio 9.2

Calcola $- \cos (u)$ per $\frac{π}{2}$ e per $0$ .

$(\frac{\frac{π}{4} \sin (2 \frac{π}{4})}{2}) - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

$2$ e $\frac{π}{4}$ .

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{2 π}{4})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{2 (π)}{4})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{π}{2})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.3

$\frac{π}{4}$ e $\sin (\frac{π}{2})$ .

$\frac{\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4}}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.4

Riscrivi $\frac{\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4}}{2}$ come un prodotto.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4} \cdot \frac{1}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.5

Moltiplica $\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4 \cdot 2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.6

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.7

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{0 \sin (0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.8

Moltiplica $0$ per $\sin (0)$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{0}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.9

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.9.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{2 (0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.9.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{0}{1} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.9.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - 0 - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.10

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} + 0 - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.11

Somma $\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8}$ e $0$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.12

Per scrivere $- \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot \frac{8}{8}$

Passaggio 9.3.13

$- \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ e $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} + \frac{- \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 8}{8}$

Passaggio 9.3.14

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 8}{8}$

Passaggio 9.3.15

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 8 (\frac{1}{4}) (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

Passaggio 9.3.16

$- 8$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 8}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

Passaggio 9.3.17

Elimina il fattore comune di $- 8$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.17.1

Scomponi $4$ da $- 8$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot - 2}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

Passaggio 9.3.17.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.17.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

Passaggio 9.3.17.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

Passaggio 9.3.17.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 2}{1} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

Passaggio 9.3.17.2.4

Dividi $- 2$ per $1$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

Passaggio 10.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- 0 + \cos (0))}{8}$

Passaggio 10.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)}{8}$

Passaggio 10.4

Moltiplica $π$ per $1$ .

$\frac{π - 2 (- 0 + 1)}{8}$

Passaggio 10.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{π - 2 (0 + 1)}{8}$

Passaggio 10.6

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{π - 2 \cdot 1}{8}$

Passaggio 10.7

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{π - 2}{8}$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{π - 2}{8}$

Forma decimale:

$0.14269908 \dots$