Calcolo Esempi

$\int_{0}^{0.9} \cos (\sqrt{6 x}) d x$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = 6 x$ . Allora $d u_{1} = 6 d x$ , quindi $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = 6 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u_{1} = 6 x$ .

$u_{lower} = 6 \cdot 0$

Passaggio 1.3

Moltiplica $6$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u_{1} = 6 x$ .

$u_{upper} = 6 \cdot 0.9$

Passaggio 1.5

Moltiplica $6$ per $0.9$ .

$u_{upper} = 5.4$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5.4$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{5.4} \cos (\sqrt{u_{1}}) \frac{1}{6} d u_{1}$

Passaggio 2

$\cos (\sqrt{u_{1}})$ e $\frac{1}{6}$ .

$\int_{0}^{5.4} \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{6} d u_{1}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{6} \int_{0}^{5.4} \cos (\sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Passaggio 4

Sia $u_{2} = \sqrt{u_{1}}$ . Allora $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ , quindi $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

$\frac{1}{6} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} 2 u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 5

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{6} (2 \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

$2$ e $\frac{1}{6}$ .

$\frac{2}{6} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 6.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 6.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 6.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 7

Integra per parti usando la formula $\int w d v = w v - \int v d w$ , dove $w = u_{2}$ e $dv = \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{3} (u_{2} \sin (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}} - \int_{0}^{\sqrt{5.4}} \sin (u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 8

L'integrale di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{3} (u_{2} \sin (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}} - (- \cos (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}}))$

Passaggio 9

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 9.1

Calcola $u_{2} \sin (u_{2})$ per $\sqrt{5.4}$ e per $0$ .

$\frac{1}{3} ((\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4})) + 0 \sin (0) - (- \cos (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}}))$

Passaggio 9.2

Calcola $- \cos (u_{2})$ per $\sqrt{5.4}$ e per $0$ .

$\frac{1}{3} ((\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\sqrt{5.4})) + \cos (0)))$

Passaggio 9.3

Semplifica.

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Passaggio 9.3.1

Moltiplica $0$ per $\sin (0)$ .

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4}) + 0 - ((- \cos (\sqrt{5.4})) + \cos (0)))$

Passaggio 9.3.2

Somma $\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4})$ e $0$ .

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4}) - (- \cos (\sqrt{5.4}) + \cos (0)))$

Passaggio 10

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4}) - (- \cos (\sqrt{5.4}) + 1))$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Calcola $\sin (\sqrt{5.4})$ .

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \cdot 0.72964498 - (- \cos (\sqrt{5.4}) + 1))$

Passaggio 11.2

Moltiplica $\sqrt{5.4}$ per $0.72964498$ .

$\frac{1}{3} (1.69554172 - (- \cos (\sqrt{5.4}) + 1))$

Passaggio 11.3

Calcola $\cos (\sqrt{5.4})$ .

$\frac{1}{3} (1.69554172 - (- - 0.68382614 + 1))$

Passaggio 11.4

Moltiplica $- 1$ per $- 0.68382614$ .

$\frac{1}{3} (1.69554172 - (0.68382614 + 1))$

Passaggio 11.5

Somma $0.68382614$ e $1$ .

$\frac{1}{3} (1.69554172 - 1 \cdot 1.68382614)$

Passaggio 11.6

Moltiplica $- 1$ per $1.68382614$ .

$\frac{1}{3} (1.69554172 - 1.68382614)$

Passaggio 11.7

Sottrai $1.68382614$ da $1.69554172$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0.01171557$

Passaggio 11.8

$\frac{1}{3}$ e $0.01171557$ .

$\frac{0.01171557}{3}$

Passaggio 11.9

Dividi $0.01171557$ per $3$ .

$0.00390519$