Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} \frac{x}{x + 1} d x$

Passaggio 1

Dividi $x$ per $x + 1$ .

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Passaggio 1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Passaggio 1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Passaggio 1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Passaggio 1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Passaggio 1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Passaggio 1.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int_{0}^{1} 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 3

Applica la regola costante.

$x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 5

Sia $u = x + 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 5.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Passaggio 5.3

Somma $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 5.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Passaggio 5.5

Somma $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Passaggio 5.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Passaggio 5.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$x]_{0}^{1} - (\ln (| u |)]_{1}^{2})$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.1

Calcola $x$ per $1$ e per $0$ .

$(1) + 0 - (\ln (| u |)]_{1}^{2})$

Passaggio 7.2

Calcola $\ln (| u |)$ per $2$ e per $1$ .

$(1) + 0 - ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 7.3

Somma $1$ e $0$ .

$1 - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 8

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$1 - \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$1 - \ln (\frac{2}{| 1 |})$

Passaggio 9.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$1 - \ln (\frac{2}{1})$

Passaggio 9.3

Dividi $2$ per $1$ .

$1 - \ln (2)$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$1 - \ln (2)$

Forma decimale:

$0.30685281 \dots$

Passaggio 11