Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} x^{7} \sqrt{1 - x^{8}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 1 - x^{8}$ . Allora $d u = - 8 x^{7} d x$ , quindi $- \frac{1}{8} d u = x^{7} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 1 - x^{8}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 - x^{8}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{8}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x^{8}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{8}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{8}]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{8}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{8}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{8}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 8$ .

$0 - (8 x^{7})$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$0 - 8 x^{7}$

Passaggio 1.1.4

Sottrai $8 x^{7}$ da $0$ .

$- 8 x^{7}$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 1 - x^{8}$ .

$u_{lower} = 1 - 0^{8}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 1 - x^{8}$ .

$u_{upper} = 1 - 1^{8}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$u_{upper} = 0$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 8} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{1}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{8}) d u$

Passaggio 2.2

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{8}$ .

$\int_{1}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{8} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{1}^{0} \frac{\sqrt{u}}{8} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{8}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{8} \int_{1}^{0} \sqrt{u} d u)$

Passaggio 5

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} \int_{1}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{0}$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.1

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $0$ e per $1$ .

$- \frac{1}{8} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$- \frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 7.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 7.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 7.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 7.2.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 7.2.5

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $0$ .

$- \frac{1}{8} (0 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 7.2.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{1}{8} (0 - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Passaggio 7.2.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{8} (0 - \frac{2}{3})$

Passaggio 7.2.8

Sottrai $\frac{2}{3}$ da $0$ .

$- \frac{1}{8} (- \frac{2}{3})$

Passaggio 7.2.9

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{1}{8}) \frac{2}{3}$

Passaggio 7.2.10

Moltiplica $\frac{1}{8}$ per $1$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3}$

Passaggio 7.2.11

Moltiplica $\frac{1}{8}$ per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{8 \cdot 3}$

Passaggio 7.2.12

Moltiplica $8$ per $3$ .

$\frac{2}{24}$

Passaggio 7.2.13

Elimina il fattore comune di $2$ e $24$ .

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Passaggio 7.2.13.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{24}$

Passaggio 7.2.13.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.2.13.2.1

Scomponi $2$ da $24$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12}$

Passaggio 7.2.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12}$

Passaggio 7.2.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{12}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{12}$

Forma decimale:

$0.08\overline{3}$

Passaggio 9