Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} \tan^{2} (\frac{π}{4} y) d y$

Passaggio 1

Sia $u = \frac{π}{4} y$ . Allora $d u = \frac{π}{4} d y$ , quindi $\frac{4}{π} d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \frac{π}{4} y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\frac{π}{4} y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{π}{4} y]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $\frac{π}{4}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{π}{4} y$ rispetto a $y$ è $\frac{π}{4} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{π}{4} \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{π}{4} \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $\frac{π}{4}$ per $1$ .

$\frac{π}{4}$

Passaggio 1.2

Sostituisci $y$ con il limite inferiore in $u = \frac{π}{4} y$ .

$u_{lower} = \frac{π}{4} \cdot 0$

Passaggio 1.3

Moltiplica $\frac{π}{4}$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci $y$ con il limite superiore in $u = \frac{π}{4} y$ .

$u_{upper} = \frac{π}{4} \cdot 1$

Passaggio 1.5

Moltiplica $\frac{π}{4}$ per $1$ .

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) \frac{1}{\frac{π}{4}} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{π}{4}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) (1 \frac{4}{π}) d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica $\frac{4}{π}$ per $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) \frac{4}{π} d u$

Passaggio 2.3

$\tan^{2} (u)$ e $\frac{4}{π}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^{2} (u) \cdot 4}{π} d u$

Passaggio 2.4

Sposta $4$ alla sinistra di $\tan^{2} (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{4 \tan^{2} (u)}{π} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{4}{π}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{4}{π}$ fuori dall'integrale.

$\frac{4}{π} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) d u$

Passaggio 4

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (u)$ come $- 1 + \sec^{2} (u)$ .

$\frac{4}{π} \int_{0}^{\frac{π}{4}} - 1 + \sec^{2} (u) d u$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{4}{π} (\int_{0}^{\frac{π}{4}} - 1 d u + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) d u)$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$\frac{4}{π} (- u]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) d u)$

Passaggio 7

Poiché la derivata di $\tan (u)$ è $\sec^{2} (u)$ , l'integrale di $\sec^{2} (u)$ è $\tan (u)$ .

$\frac{4}{π} (- u]_{0}^{\frac{π}{4}} + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Passaggio 8

$- u]_{0}^{\frac{π}{4}}$ e $\tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}}$ .

$\frac{4}{π} - u + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Passaggio 9

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 9.1

Calcola $- u + \tan (u)$ per $\frac{π}{4}$ e per $0$ .

$\frac{4}{π} ((- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4})) - (- 0 + \tan (0)))$

Passaggio 9.2

Semplifica.

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Passaggio 9.2.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4}) - (0 + \tan (0)))$

Passaggio 9.2.2

Somma $0$ e $\tan (0)$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4}) - \tan (0))$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1 - \tan (0))$

Passaggio 10.2

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1 - 0)$

Passaggio 10.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1 + 0)$

Passaggio 10.4

Somma $- \frac{π}{4} + 1$ e $0$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1)$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4}) + \frac{4}{π} \cdot 1$

Passaggio 11.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 11.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{4}$ nel numeratore.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{- π}{4} + \frac{4}{π} \cdot 1$

Passaggio 11.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{- π}{4} + \frac{4}{π} \cdot 1$

Passaggio 11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{π} (- π) + \frac{4}{π} \cdot 1$

Passaggio 11.3

Elimina il fattore comune di $π$ .

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Passaggio 11.3.1

Scomponi $π$ da $- π$ .

$\frac{1}{π} (π \cdot - 1) + \frac{4}{π} \cdot 1$

Passaggio 11.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{π} (π \cdot - 1) + \frac{4}{π} \cdot 1$

Passaggio 11.3.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 + \frac{4}{π} \cdot 1$

Passaggio 11.4

Moltiplica $\frac{4}{π}$ per $1$ .

$- 1 + \frac{4}{π}$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- 1 + \frac{4}{π}$

Forma decimale:

$0.27323954 \dots$