Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} \sqrt{t^{4} + 7 t} (4 t^{3} + 7) d t$

Passaggio 1

Sia $u = t^{4} + 7 t$ . Allora $d u = (4 t^{3} + 7) d t$ , quindi $\frac{1}{4 t^{3} + 7} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = t^{4} + 7 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $t^{4} + 7 t$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4} + 7 t]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{4} + 7 t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [7 t]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [7 t]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 t^{3} + \frac{d}{d t} [7 t]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [7 t]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $7 t$ rispetto a $t$ è $7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 t^{3} + 7 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 t^{3} + 7 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $7$ per $1$ .

$4 t^{3} + 7$

Passaggio 1.2

Sostituisci $t$ con il limite inferiore in $u = t^{4} + 7 t$ .

$u_{lower} = 0^{4} + 7 \cdot 0$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 0 + 7 \cdot 0$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $7$ per $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $0$ e $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci $t$ con il limite superiore in $u = t^{4} + 7 t$ .

$u_{upper} = 1^{4} + 7 \cdot 1$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = 1 + 7 \cdot 1$

Passaggio 1.5.1.2

Moltiplica $7$ per $1$ .

$u_{upper} = 1 + 7$

Passaggio 1.5.2

Somma $1$ e $7$ .

$u_{upper} = 8$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{8} \sqrt{u} d u$

Passaggio 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{8} u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{8}$

Passaggio 4

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 4.1

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $8$ e per $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

$\frac{2}{3}$ e $8^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$\frac{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Passaggio 4.2.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.3.2

Moltiplica $3 (\frac{3}{2})$ .

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Passaggio 4.2.3.2.1

$3$ e $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.3.2.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2^{1 + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2^{\frac{2 + 9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.7

Somma $2$ e $9$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.8

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.9

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Passaggio 4.2.10

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.2.10.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Passaggio 4.2.10.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}$

Passaggio 4.2.11

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0$

Passaggio 4.2.12

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} + 0 (\frac{2}{3})$

Passaggio 4.2.13

Moltiplica $0$ per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} + 0$

Passaggio 4.2.14

Somma $\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3}$ e $0$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3}$

Forma decimale:

$15.08494466 \dots$

Passaggio 6