Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} \frac{1}{4 x + 1} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 4 x + 1$ . Allora $d u = 4 d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 4 x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $4 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $4$ e $0$ .

$4$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 4 x + 1$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $4$ per $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Passaggio 1.3.2

Somma $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 4 x + 1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 1 + 1$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$u_{upper} = 4 + 1$

Passaggio 1.5.2

Somma $4$ e $1$ .

$u_{upper} = 5$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{5} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{5} \frac{1}{u \cdot 4} d u$

Passaggio 2.2

Sposta $4$ alla sinistra di $u$ .

$\int_{1}^{5} \frac{1}{4 u} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| u |)]_{1}^{5}$

Passaggio 5

Calcola $\ln (| u |)$ per $5$ e per $1$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{4} \ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$

Passaggio 6.2

$\frac{1}{4}$ e $\ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})}{4}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $5$ è $5$ .

$\frac{\ln (\frac{5}{| 1 |})}{4}$

Passaggio 7.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{\ln (\frac{5}{1})}{4}$

Passaggio 7.3

Dividi $5$ per $1$ .

$\frac{\ln (5)}{4}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{\ln (5)}{4}$

Forma decimale:

$0.40235947 \dots$

Passaggio 9