Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} \frac{2 t}{1 + t^{2}} d t$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{0}^{1} \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

Passaggio 2

Sia $u = 1 + t^{2}$ . Allora $d u = 2 t d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 1 + t^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $1 + t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [1 + t^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + t^{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 2.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 t$

Passaggio 2.1.5

Somma $0$ e $2 t$ .

$2 t$

Passaggio 2.2

Sostituisci $t$ con il limite inferiore in $u = 1 + t^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 2.4

Sostituisci $t$ con il limite superiore in $u = 1 + t^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + 1^{2}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = 1 + 1$

Passaggio 2.5.2

Somma $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$2 \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{1}^{2} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$2 \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 5.3

Moltiplica $\int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$ per $1$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{1}^{2}$

Passaggio 7

Calcola $\ln (| u |)$ per $2$ e per $1$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Passaggio 8

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |})$

Passaggio 9.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\ln (\frac{2}{1})$

Passaggio 9.3

Dividi $2$ per $1$ .

$\ln (2)$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\ln (2)$

Forma decimale:

$0.69314718 \dots$

Passaggio 11