Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} {(8 y^{2} - y + 1)}^{- \frac{1}{3}} (32 y - 2) d y$

Passaggio 1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{1}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} (32 y - 2) d y$

Passaggio 1.2

Moltiplica $\frac{1}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ per $32 y - 2$ .

$\int_{0}^{1} \frac{32 y - 2}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

Passaggio 1.3

Scomponi $2$ da $32 y - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Scomponi $2$ da $32 y$ .

$\int_{0}^{1} \frac{2 (16 y) - 2}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

Passaggio 1.3.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\int_{0}^{1} \frac{2 (16 y) + 2 (- 1)}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

Passaggio 1.3.3

Scomponi $2$ da $2 (16 y) + 2 (- 1)$ .

$\int_{0}^{1} \frac{2 (16 y - 1)}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

Passaggio 2

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{0}^{1} \frac{16 y - 1}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

Passaggio 3

Sia $u = 8 y^{2} - y + 1$ . Allora $d u = (16 y - 1) d y$ , quindi $\frac{1}{16 y - 1} d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u = 8 y^{2} - y + 1$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $8 y^{2} - y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [8 y^{2} - y + 1]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 y^{2} - y + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [8 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [8 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 3.1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [8 y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $8 y^{2}$ rispetto a $y$ è $8 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 3.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$8 (2 y) + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 3.1.3.3

Moltiplica $2$ per $8$ .

$16 y + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 3.1.4

Calcola $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Passaggio 3.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$16 y - \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 3.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$16 y - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 3.1.4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$16 y - 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 3.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 3.1.5.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$16 y - 1 + 0$

Passaggio 3.1.5.2

Somma $16 y - 1$ e $0$ .

$16 y - 1$

Passaggio 3.2

Sostituisci $y$ con il limite inferiore in $u = 8 y^{2} - y + 1$ .

$u_{lower} = 8 \cdot 0^{2} - 0 + 1$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 8 \cdot 0 - 0 + 1$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $8$ per $0$ .

$u_{lower} = 0 - 0 + 1$

Passaggio 3.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

Passaggio 3.3.2

Somma $0$ e $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Passaggio 3.3.3

Somma $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 3.4

Sostituisci $y$ con il limite superiore in $u = 8 y^{2} - y + 1$ .

$u_{upper} = 8 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1 + 1$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = 8 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 1$

Passaggio 3.5.1.2

Moltiplica $8$ per $1$ .

$u_{upper} = 8 - 1 \cdot 1 + 1$

Passaggio 3.5.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$u_{upper} = 8 - 1 + 1$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $1$ da $8$ .

$u_{upper} = 7 + 1$

Passaggio 3.5.3

Somma $7$ e $1$ .

$u_{upper} = 8$

Passaggio 3.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

Passaggio 3.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$2 \int_{1}^{8} \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Sposta $u^{\frac{1}{3}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$2 \int_{1}^{8} {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Passaggio 4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int_{1}^{8} u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Passaggio 4.2.2

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$2 \int_{1}^{8} u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Passaggio 4.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 \int_{1}^{8} u^{- \frac{1}{3}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{3}}$ rispetto a $u$ è $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}]_{1}^{8})$

Passaggio 6

$\frac{3}{2}$ e $u^{\frac{2}{3}}$ .

$2 (\frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}]_{1}^{8})$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.1

Calcola $\frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}$ per $8$ e per $1$ .

$2 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{2}{3}}}{2}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Passaggio 7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$2 (\frac{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Passaggio 7.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Passaggio 7.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Passaggio 7.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$2 (\frac{3 \cdot 2^{2}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Passaggio 7.2.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$2 (\frac{3 \cdot 4}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Passaggio 7.2.5

Moltiplica $3$ per $4$ .

$2 (\frac{12}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Passaggio 7.2.6

Elimina il fattore comune di $12$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.6.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$2 (\frac{2 \cdot 6}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Passaggio 7.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.2.6.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$2 (\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Passaggio 7.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Passaggio 7.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 (\frac{6}{1} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Passaggio 7.2.6.2.4

Dividi $6$ per $1$ .

$2 (6 - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Passaggio 7.2.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2 (6 - \frac{3 \cdot 1}{2})$

Passaggio 7.2.8

Moltiplica $3$ per $1$ .

$2 (6 - \frac{3}{2})$

Passaggio 7.2.9

Per scrivere $6$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 (6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2})$

Passaggio 7.2.10

$6$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2})$

Passaggio 7.2.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 \frac{6 \cdot 2 - 3}{2}$

Passaggio 7.2.12

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.2.12.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$2 \frac{12 - 3}{2}$

Passaggio 7.2.12.2

Sottrai $3$ da $12$ .

$2 (\frac{9}{2})$

Passaggio 7.2.13

$2$ e $\frac{9}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2}$

Passaggio 7.2.14

Moltiplica $2$ per $9$ .

$\frac{18}{2}$

Passaggio 7.2.15

Elimina il fattore comune di $18$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.15.1

Scomponi $2$ da $18$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2}$

Passaggio 7.2.15.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.15.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2 (1)}$

Passaggio 7.2.15.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.2.15.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{9}{1}$

Passaggio 7.2.15.2.4

Dividi $9$ per $1$ .

$9$

Passaggio 8