Calcolo Esempi

$\int_{0}^{2} x^{2} \cdot \ln (x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = x^{2}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\ln (x) \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2

$\ln (x)$ e $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

$x^{3}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{x^{3}}{x} d x)$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x)$

Passaggio 4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x)$

Passaggio 4.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Passaggio 4.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Passaggio 4.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{x^{2}}{1} d x)$

Passaggio 4.2.2.5

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} x^{2} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} \int_{0}^{2} x^{2} d x$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}$

Passaggio 6

Calcola $\frac{\ln (x) x^{3}}{3}$ per $2$ e per $0$ .

$(\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (0) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}$

Passaggio 7

Il logaritmo naturale di zero è indefinito.

Indefinito