Calcolo Esempi

$\sin (5 x + 5 y) = x y$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\sin (5 x + 5 y)) = \frac{d}{d x} (x y)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 5 x + 5 y$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 x + 5 y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x + 5 y]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x + 5 y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x + 5 y$ .

$\cos (5 x + 5 y) \frac{d}{d x} [5 x + 5 y]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

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Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x + 5 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [5 y]$ .

$\cos (5 x + 5 y) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [5 y])$

Passaggio 2.2.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (5 x + 5 y) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 y])$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cos (5 x + 5 y) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 y])$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\cos (5 x + 5 y) (5 + \frac{d}{d x} [5 y])$

Passaggio 2.2.5

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 y$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (5 x + 5 y) (5 + 5 \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\cos (5 x + 5 y) (5 + 5 y')$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Passaggio 3.4

Moltiplica $y$ per $1$ .

$x y' + y$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\cos (5 x + 5 y) (5 + 5 y') = x y' + y$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.1.1

Semplifica $\cos (5 x + 5 y) (5 + 5 y')$ .

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Passaggio 5.1.1.1

Riscrivi.

$0 + 0 + \cos (5 x + 5 y) (5 + 5 y') = x y' + y$

Passaggio 5.1.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$\cos (5 x + 5 y) (5 + 5 y') = x y' + y$

Passaggio 5.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (5 x + 5 y) \cdot 5 + \cos (5 x + 5 y) (5 y') = x y' + y$

Passaggio 5.1.1.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1.1.4.1

Sposta $5$ alla sinistra di $\cos (5 x + 5 y)$ .

$5 \cdot \cos (5 x + 5 y) + \cos (5 x + 5 y) (5 y') = x y' + y$

Passaggio 5.1.1.4.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$5 \cdot \cos (5 x + 5 y) + 5 \cos (5 x + 5 y) y' = x y' + y$

Passaggio 5.1.1.4.3

Riordina i fattori in $5 \cos (5 x + 5 y) + 5 \cos (5 x + 5 y) y'$ .

$5 \cos (5 x + 5 y) + 5 y' \cos (5 x + 5 y) = x y' + y$

Passaggio 5.2

Sottrai $x y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 \cos (5 x + 5 y) + 5 y' \cos (5 x + 5 y) - x y' = y$

Passaggio 5.3

Sottrai $5 \cos (5 x + 5 y)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 y' \cos (5 x + 5 y) - x y' = y - 5 \cos (5 x + 5 y)$

Passaggio 5.4

Scomponi $y'$ da $5 y' \cos (5 x + 5 y) - x y'$ .

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Passaggio 5.4.1

Scomponi $y'$ da $5 y' \cos (5 x + 5 y)$ .

$y' (5 \cos (5 x + 5 y)) - x y' = y - 5 \cos (5 x + 5 y)$

Passaggio 5.4.2

Scomponi $y'$ da $- x y'$ .

$y' (5 \cos (5 x + 5 y)) + y' (- x) = y - 5 \cos (5 x + 5 y)$

Passaggio 5.4.3

Scomponi $y'$ da $y' (5 \cos (5 x + 5 y)) + y' (- x)$ .

$y' (5 \cos (5 x + 5 y) - x) = y - 5 \cos (5 x + 5 y)$

Passaggio 5.5

Dividi per $5 \cos (5 x + 5 y) - x$ ciascun termine in $y' (5 \cos (5 x + 5 y) - x) = y - 5 \cos (5 x + 5 y)$ e semplifica.

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Passaggio 5.5.1

Dividi per $5 \cos (5 x + 5 y) - x$ ciascun termine in $y' (5 \cos (5 x + 5 y) - x) = y - 5 \cos (5 x + 5 y)$ .

$\frac{y' (5 \cos (5 x + 5 y) - x)}{5 \cos (5 x + 5 y) - x} = \frac{y}{5 \cos (5 x + 5 y) - x} + \frac{- 5 \cos (5 x + 5 y)}{5 \cos (5 x + 5 y) - x}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $5 \cos (5 x + 5 y) - x$ .

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Passaggio 5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (5 \cos (5 x + 5 y) - x)}{5 \cos (5 x + 5 y) - x} = \frac{y}{5 \cos (5 x + 5 y) - x} + \frac{- 5 \cos (5 x + 5 y)}{5 \cos (5 x + 5 y) - x}$

Passaggio 5.5.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{y}{5 \cos (5 x + 5 y) - x} + \frac{- 5 \cos (5 x + 5 y)}{5 \cos (5 x + 5 y) - x}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.5.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{y}{5 \cos (5 x + 5 y) - x} - \frac{5 \cos (5 x + 5 y)}{5 \cos (5 x + 5 y) - x}$

Passaggio 5.5.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{y - 5 \cos (5 x + 5 y)}{5 \cos (5 x + 5 y) - x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - 5 \cos (5 x + 5 y)}{5 \cos (5 x + 5 y) - x}$