Calcolo Esempi

$\int_{0}^{2} z^{2} \ln (z) d z$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (z)$ e $d v = z^{2}$ .

$\ln (z) (\frac{1}{3} z^{3})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} z^{3} \frac{1}{z} d z$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{1}{3}$ e $z^{3}$ .

$\ln (z) \frac{z^{3}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} z^{3} \frac{1}{z} d z$

Passaggio 2.2

$\ln (z)$ e $\frac{z^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} z^{3} \frac{1}{z} d z$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $z$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} z^{3} \frac{1}{z} d z)$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

$z^{3}$ e $\frac{1}{z}$ .

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{z^{3}}{z} d z)$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune di $z^{3}$ e $z$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Scomponi $z$ da $z^{3}$ .

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{z \cdot z^{2}}{z} d z)$

Passaggio 4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Eleva $z$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{z \cdot z^{2}}{z^{1}} d z)$

Passaggio 4.2.2.2

Scomponi $z$ da $z^{1}$ .

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{z \cdot z^{2}}{z \cdot 1} d z)$

Passaggio 4.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{z \cdot z^{2}}{z \cdot 1} d z)$

Passaggio 4.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{z^{2}}{1} d z)$

Passaggio 4.2.2.5

Dividi $z^{2}$ per $1$ .

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} z^{2} d z)$

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} \int_{0}^{2} z^{2} d z$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $z^{2}$ rispetto a $z$ è $\frac{1}{3} z^{3}$ .

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} z^{3}]_{0}^{2}$

Passaggio 6

Calcola $\frac{\ln (z) z^{3}}{3}$ per $2$ e per $0$ .

$(\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (0) z^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} z^{3}]_{0}^{2}$

Passaggio 7

Il logaritmo naturale di zero è indefinito.

Indefinito