Calcolo Esempi

$\int_{0}^{2} r^{2} e^{3 r} d r$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = r^{2}$ e $d v = e^{3 r}$ .

$r^{2} (\frac{1}{3} e^{3 r})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} (2 r) d r$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{1}{3}$ e $e^{3 r}$ .

$r^{2} \frac{e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} (2 r) d r$

Passaggio 2.2

$r^{2}$ e $\frac{e^{3 r}}{3}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} (2 r) d r$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{3} \cdot 2$ è costante rispetto a $r$ , sposta $\frac{1}{3} \cdot 2$ fuori dall'integrale.

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int_{0}^{2} e^{3 r} (r) d r)$

Passaggio 4

$\frac{1}{3}$ e $2$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} \int_{0}^{2} e^{3 r} (r) d r$

Passaggio 5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = r$ e $d v = e^{3 r}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (r (\frac{1}{3} e^{3 r})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} d r)$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

$\frac{1}{3}$ e $e^{3 r}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (r \frac{e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} d r)$

Passaggio 6.2

$r$ e $\frac{e^{3 r}}{3}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} d r)$

Passaggio 6.3

$\frac{1}{3}$ e $e^{3 r}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{e^{3 r}}{3} d r)$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $r$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} e^{3 r} d r))$

Passaggio 8

Sia $u = 3 r$ . Allora $d u = 3 d r$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d r$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sia $u = 3 r$ . Trova $\frac{d u}{d r}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Differenzia $3 r$ .

$\frac{d}{d r} [3 r]$

Passaggio 8.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $3 r$ rispetto a $r$ è $3 \frac{d}{d r} [r]$ .

$3 \frac{d}{d r} [r]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 8.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 8.2

Sostituisci $r$ con il limite inferiore in $u = 3 r$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Passaggio 8.3

Moltiplica $3$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 8.4

Sostituisci $r$ con il limite superiore in $u = 3 r$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 2$

Passaggio 8.5

Moltiplica $3$ per $2$ .

$u_{upper} = 6$

Passaggio 8.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 6$

Passaggio 8.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} \int_{0}^{6} e^{u} \frac{1}{3} d u)$

Passaggio 9

$e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} \int_{0}^{6} \frac{e^{u}}{3} d u)$

Passaggio 10

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int_{0}^{6} e^{u} d u))$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int_{0}^{6} e^{u} d u)$

Passaggio 11.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{9} \int_{0}^{6} e^{u} d u)$

Passaggio 12

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{9} e^{u}]_{0}^{6})$

Passaggio 13

$e^{u}]_{0}^{6}$ e $\frac{1}{9}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{6}}{9})$

Passaggio 14

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Calcola $\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}$ per $2$ e per $0$ .

$(\frac{2^{2} e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0^{2} e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{6}}{9})$

Passaggio 14.2

Calcola $\frac{r e^{3 r}}{3}$ per $2$ e per $0$ .

$(\frac{2^{2} e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0^{2} e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{e^{u}]_{0}^{6}}{9})$

Passaggio 14.3

Calcola $e^{u}$ per $6$ e per $0$ .

$(\frac{2^{2} e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0^{2} e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Passaggio 14.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{4 e^{3 \cdot 2}}{3} - \frac{0^{2} e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Passaggio 14.4.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0^{2} e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Passaggio 14.4.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Passaggio 14.4.4

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0 e^{0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Passaggio 14.4.5

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0 \cdot 1}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Passaggio 14.4.6

Moltiplica $0$ per $1$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Passaggio 14.4.7

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.7.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Passaggio 14.4.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.7.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Passaggio 14.4.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Passaggio 14.4.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Passaggio 14.4.7.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Passaggio 14.4.8

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Passaggio 14.4.9

Somma $\frac{4 e^{6}}{3}$ e $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Passaggio 14.4.10

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Passaggio 14.4.11

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{0 e^{0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Passaggio 14.4.12

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{0 \cdot 1}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Passaggio 14.4.13

Moltiplica $0$ per $1$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{0}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Passaggio 14.4.14

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.14.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Passaggio 14.4.14.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.14.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Passaggio 14.4.14.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Passaggio 14.4.14.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{0}{1} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Passaggio 14.4.14.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - 0 - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Passaggio 14.4.15

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} + 0 - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Passaggio 14.4.16

Somma $\frac{2 e^{6}}{3}$ e $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Passaggio 14.4.17

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{e^{6} - 1 \cdot 1}{9})$

Passaggio 14.4.18

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{e^{6} - 1}{9})$

Passaggio 14.4.19

Per scrivere $\frac{2 e^{6}}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{6} - 1}{9})$

Passaggio 14.4.20

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $9$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.20.1

Moltiplica $\frac{2 e^{6}}{3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6} \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{e^{6} - 1}{9})$

Passaggio 14.4.20.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6} \cdot 3}{9} - \frac{e^{6} - 1}{9})$

Passaggio 14.4.21

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2 e^{6} \cdot 3 - (e^{6} - 1)}{9}$

Passaggio 14.4.22

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{6 e^{6} - (e^{6} - 1)}{9}$

Passaggio 14.4.23

Moltiplica $\frac{6 e^{6} - (e^{6} - 1)}{9}$ per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{(6 e^{6} - (e^{6} - 1)) \cdot 2}{9 \cdot 3}$

Passaggio 14.4.24

Moltiplica $9$ per $3$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{(6 e^{6} - (e^{6} - 1)) \cdot 2}{27}$

Passaggio 14.4.25

Sposta $2$ alla sinistra di $6 e^{6} - (e^{6} - 1)$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2 \cdot (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

Passaggio 14.4.26

Per scrivere $\frac{4 e^{6}}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} \cdot \frac{9}{9} - \frac{2 (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

Passaggio 14.4.27

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $27$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.27.1

Moltiplica $\frac{4 e^{6}}{3}$ per $\frac{9}{9}$ .

$\frac{4 e^{6} \cdot 9}{3 \cdot 9} - \frac{2 (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

Passaggio 14.4.27.2

Moltiplica $3$ per $9$ .

$\frac{4 e^{6} \cdot 9}{27} - \frac{2 (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

Passaggio 14.4.28

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 e^{6} \cdot 9 - 2 (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

Passaggio 14.4.29

Moltiplica $9$ per $4$ .

$\frac{36 e^{6} - 2 (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

Passaggio 15

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{36 e^{6} - 2 (6 e^{6} - e^{6} - - 1)}{27}$

Passaggio 15.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{36 e^{6} - 2 (6 e^{6} - e^{6} + 1)}{27}$

Passaggio 15.2

Sottrai $e^{6}$ da $6 e^{6}$ .

$\frac{36 e^{6} - 2 (5 e^{6} + 1)}{27}$

Passaggio 15.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{36 e^{6} - 2 (5 e^{6}) - 2 \cdot 1}{27}$

Passaggio 15.4

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

$\frac{36 e^{6} - 10 e^{6} - 2 \cdot 1}{27}$

Passaggio 15.5

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{36 e^{6} - 10 e^{6} - 2}{27}$

Passaggio 15.6

Sottrai $10 e^{6}$ da $36 e^{6}$ .

$\frac{26 e^{6} - 2}{27}$

Passaggio 16

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{26 e^{6} - 2}{27}$

Forma decimale:

$388.41291225 \dots$

Passaggio 17