Calcolo Esempi

$\int_{0}^{2} \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x - 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = x - 1$ .

$u_{lower} = 0 - 1$

Passaggio 1.3

Sottrai $1$ da $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = x - 1$ .

$u_{upper} = 2 - 1$

Passaggio 1.5

Sottrai $1$ da $2$ .

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Passaggio 2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.1

Sposta $u^{\frac{2}{3}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int_{- 1}^{1} {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 1}^{1} u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

$\frac{2}{3}$ e $- 1$ .

$\int_{- 1}^{1} u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int_{- 1}^{1} u^{\frac{- 2}{3}} d u$

Passaggio 2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{- 1}^{1} u^{- \frac{2}{3}} d u$

Passaggio 3

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- \frac{2}{3}}$ rispetto a $u$ è $3 u^{\frac{1}{3}}$ .

$3 u^{\frac{1}{3}}]_{- 1}^{1}$

Passaggio 4

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 4.1

Calcola $3 u^{\frac{1}{3}}$ per $1$ e per $- 1$ .

$(3 \cdot 1^{\frac{1}{3}}) - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$3 \cdot 1 - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 4.2.3

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$3 - 3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 4.2.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 - 3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Passaggio 4.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 4.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$3 - 3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Passaggio 4.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$3 - 3 {(- 1)}^{1}$

Passaggio 4.2.6

Calcola l'esponente.

$3 - 3 \cdot - 1$

Passaggio 4.2.7

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$3 + 3$

Passaggio 4.2.8

Somma $3$ e $3$ .

$6$

Passaggio 5