Calcolo Esempi

$\int_{0}^{2} (2 x - 3) (4 x^{2} + 1) d x$

Passaggio 1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{0}^{2} 2 x (4 x^{2} + 1) - 3 (4 x^{2} + 1) d x$

Passaggio 1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{0}^{2} 2 x (4 x^{2}) + 2 x \cdot 1 - 3 (4 x^{2} + 1) d x$

Passaggio 1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{0}^{2} 2 x (4 x^{2}) + 2 x \cdot 1 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot 1 d x$

Passaggio 1.4

Sposta $x$ .

$\int_{0}^{2} 2 \cdot 4 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 1 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot 1 d x$

Passaggio 1.5

Sposta $x$ .

$\int_{0}^{2} 2 \cdot 4 x \cdot x^{2} + 2 \cdot 1 x - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot 1 d x$

Passaggio 1.6

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\int_{0}^{2} 8 x \cdot x^{2} + 2 \cdot 1 x - 3 \cdot 4 x^{2} - 3 \cdot 1 d x$

Passaggio 1.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int_{0}^{2} 8 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 1 x - 3 \cdot 4 x^{2} - 3 \cdot 1 d x$

Passaggio 1.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{0}^{2} 8 x^{1 + 2} + 2 \cdot 1 x - 3 \cdot 4 x^{2} - 3 \cdot 1 d x$

Passaggio 1.9

Somma $1$ e $2$ .

$\int_{0}^{2} 8 x^{3} + 2 \cdot 1 x - 3 \cdot 4 x^{2} - 3 \cdot 1 d x$

Passaggio 1.10

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\int_{0}^{2} 8 x^{3} + 2 x - 3 \cdot 4 x^{2} - 3 \cdot 1 d x$

Passaggio 1.11

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$\int_{0}^{2} 8 x^{3} + 2 x - 12 x^{2} - 3 \cdot 1 d x$

Passaggio 1.12

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$\int_{0}^{2} 8 x^{3} + 2 x - 12 x^{2} - 3 d x$

Passaggio 1.13

Sposta $2 x$ .

$\int_{0}^{2} 8 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 3 d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{2} 8 x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x$

Passaggio 3

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$8 \int_{0}^{2} x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$8 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x$

Passaggio 5

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x$

Passaggio 6

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 12$ fuori dall'integrale.

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 12 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x$

Passaggio 8

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x$

Passaggio 9

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 3 d x$

Passaggio 11

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 3 d x$

Passaggio 12

Applica la regola costante.

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + - 3 x]_{0}^{2}$

Passaggio 13

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Calcola $\frac{x^{4}}{4}$ per $2$ e per $0$ .

$8 ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + - 3 x]_{0}^{2}$

Passaggio 13.2

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $2$ e per $0$ .

$8 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + - 3 x]_{0}^{2}$

Passaggio 13.3

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $2$ e per $0$ .

$8 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + - 3 x]_{0}^{2}$

Passaggio 13.4

Calcola $- 3 x$ per $2$ e per $0$ .

$8 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.1

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$8 (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.2

Elimina il fattore comune di $16$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.2.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$8 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.2.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$8 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$8 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$8 (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.2.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$8 (4 - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$8 (4 - \frac{0}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.4

Elimina il fattore comune di $0$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.4.1

Scomponi $4$ da $0$ .

$8 (4 - \frac{4 (0)}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.4.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$8 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$8 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$8 (4 - \frac{0}{1}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.4.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$8 (4 - 0) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$8 (4 + 0) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.6

Somma $4$ e $0$ .

$8 \cdot 4 - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.7

Moltiplica $8$ per $4$ .

$32 - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.8

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$32 - 12 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.9

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$32 - 12 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.10

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.10.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$32 - 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.10.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$32 - 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$32 - 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$32 - 12 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.10.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$32 - 12 (\frac{8}{3} - 0) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.11

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$32 - 12 (\frac{8}{3} + 0) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.12

Somma $\frac{8}{3}$ e $0$ .

$32 - 12 (\frac{8}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.13

$- 12$ e $\frac{8}{3}$ .

$32 + \frac{- 12 \cdot 8}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.14

Moltiplica $- 12$ per $8$ .

$32 + \frac{- 96}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.15

Elimina il fattore comune di $- 96$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.15.1

Scomponi $3$ da $- 96$ .

$32 + \frac{3 \cdot - 32}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.15.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.15.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$32 + \frac{3 \cdot - 32}{3 (1)} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.15.2.2

Elimina il fattore comune.

$32 + \frac{3 \cdot - 32}{3 \cdot 1} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.15.2.3

Riscrivi l'espressione.

$32 + \frac{- 32}{1} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.15.2.4

Dividi $- 32$ per $1$ .

$32 - 32 + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.16

Sottrai $32$ da $32$ .

$0 + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.17

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$0 + 2 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.18

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.18.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$0 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.18.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.18.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$0 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.18.2.2

Elimina il fattore comune.

$0 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.18.2.3

Riscrivi l'espressione.

$0 + 2 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.18.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$0 + 2 (2 - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.19

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 2 (2 - \frac{0}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.20

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.20.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$0 + 2 (2 - \frac{2 (0)}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.20.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.20.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$0 + 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.20.2.2

Elimina il fattore comune.

$0 + 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.20.2.3

Riscrivi l'espressione.

$0 + 2 (2 - \frac{0}{1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.20.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$0 + 2 (2 - 0) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.21

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0 + 2 (2 + 0) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.22

Somma $2$ e $0$ .

$0 + 2 \cdot 2 - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.23

Moltiplica $2$ per $2$ .

$0 + 4 - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.24

Somma $0$ e $4$ .

$4 - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.25

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$4 - 6 + 3 \cdot 0$

Passaggio 13.5.26

Moltiplica $3$ per $0$ .

$4 - 6 + 0$

Passaggio 13.5.27

Somma $- 6$ e $0$ .

$4 - 6$

Passaggio 13.5.28

Sottrai $6$ da $4$ .

$- 2$

Passaggio 14