Calcolo Esempi

$\int_{0}^{2} \sin (π x) - (x^{3} - 4 x) d x$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{2} \sin (π x) d x + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

Passaggio 2

Sia $u = π x$ . Allora $d u = π d x$ , quindi $\frac{1}{π} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u = π x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π x$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 2.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = π x$ .

$u_{lower} = π \cdot 0$

Passaggio 2.3

Moltiplica $π$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 2.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = π x$ .

$u_{upper} = π \cdot 2$

Passaggio 2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$u_{upper} = 2 π$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{2 π} \sin (u) \frac{1}{π} d u + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

Passaggio 3

$\sin (u)$ e $\frac{1}{π}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{\sin (u)}{π} d u + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{π}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{π}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{π} \int_{0}^{2 π} \sin (u) d u + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

Passaggio 5

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2} x^{3} - 4 x d x$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\int_{0}^{2} x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 4 x d x)$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 4 x d x)$

Passaggio 9

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 4 x d x)$

Passaggio 10

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 4$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 \int_{0}^{2} x d x)$

Passaggio 11

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}))$

Passaggio 12

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}))$

Passaggio 13

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Calcola $- \cos (u)$ per $2 π$ e per $0$ .

$\frac{1}{π} ((- \cos (2 π)) + \cos (0)) - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}))$

Passaggio 13.2

Calcola $\frac{x^{4}}{4}$ per $2$ e per $0$ .

$\frac{1}{π} ((- \cos (2 π)) + \cos (0)) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}))$

Passaggio 13.3

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $2$ e per $0$ .

$\frac{1}{π} ((- \cos (2 π)) + \cos (0)) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Passaggio 13.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Passaggio 13.4.2

Elimina il fattore comune di $16$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.2.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Passaggio 13.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.2.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Passaggio 13.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Passaggio 13.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Passaggio 13.4.2.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Passaggio 13.4.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{0}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Passaggio 13.4.4

Elimina il fattore comune di $0$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.4.1

Scomponi $4$ da $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{4 (0)}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Passaggio 13.4.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.4.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Passaggio 13.4.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Passaggio 13.4.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{0}{1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Passaggio 13.4.4.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 0 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Passaggio 13.4.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 + 0 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Passaggio 13.4.6

Somma $4$ e $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Passaggio 13.4.7

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Passaggio 13.4.8

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.8.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Passaggio 13.4.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.8.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}))$

Passaggio 13.4.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}))$

Passaggio 13.4.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}))$

Passaggio 13.4.8.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{0^{2}}{2}))$

Passaggio 13.4.9

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{0}{2}))$

Passaggio 13.4.10

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.10.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{2 (0)}{2}))$

Passaggio 13.4.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.10.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Passaggio 13.4.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Passaggio 13.4.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{0}{1}))$

Passaggio 13.4.10.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - 0))$

Passaggio 13.4.11

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 + 0))$

Passaggio 13.4.12

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 \cdot 2)$

Passaggio 13.4.13

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 8)$

Passaggio 13.4.14

Sottrai $8$ da $4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - - 4$

Passaggio 13.4.15

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) + 4$

Passaggio 14

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + 1) + 4$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (0) + 1) + 4$

Passaggio 15.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{π} (- 1 \cdot 1 + 1) + 4$

Passaggio 15.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{π} (- 1 + 1) + 4$

Passaggio 15.4

Somma $- 1$ e $1$ .

$\frac{1}{π} \cdot 0 + 4$

Passaggio 15.5

Moltiplica $\frac{1}{π}$ per $0$ .

$0 + 4$

Passaggio 15.6

Somma $0$ e $4$ .

$4$