Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} \frac{y}{e^{8 y}} d y$

Passaggio 1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Nega l'esponente di $e^{8 y}$ e rimuovilo dal denominatore.

$\int_{0}^{1} y {(e^{8 y})}^{- 1} d y$

Passaggio 1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{8 y})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} y e^{8 y \cdot - 1} d y$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$\int_{0}^{1} y e^{- 8 y} d y$

Passaggio 2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = y$ e $d v = e^{- 8 y}$ .

$y (- \frac{1}{8} e^{- 8 y})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{8} e^{- 8 y} d y$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$e^{- 8 y}$ e $\frac{1}{8}$ .

$y (- \frac{e^{- 8 y}}{8})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{8} e^{- 8 y} d y$

Passaggio 3.2

$y$ e $\frac{e^{- 8 y}}{8}$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{8} e^{- 8 y} d y$

Passaggio 4

Poiché $- \frac{1}{8}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- \frac{1}{8}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - (- \frac{1}{8} \int_{0}^{1} e^{- 8 y} d y)$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + 1 (\frac{1}{8} \int_{0}^{1} e^{- 8 y} d y)$

Passaggio 5.2

Moltiplica $\frac{1}{8}$ per $1$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{1} e^{- 8 y} d y$

Passaggio 6

Sia $u = - 8 y$ . Allora $d u = - 8 d y$ , quindi $- \frac{1}{8} d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u = - 8 y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia $- 8 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 8 y]$

Passaggio 6.1.2

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 8 y$ rispetto a $y$ è $- 8 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 8 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 8 \cdot 1$

Passaggio 6.1.4

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$- 8$

Passaggio 6.2

Sostituisci $y$ con il limite inferiore in $u = - 8 y$ .

$u_{lower} = - 8 \cdot 0$

Passaggio 6.3

Moltiplica $- 8$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 6.4

Sostituisci $y$ con il limite superiore in $u = - 8 y$ .

$u_{upper} = - 8 \cdot 1$

Passaggio 6.5

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$u_{upper} = - 8$

Passaggio 6.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 8$

Passaggio 6.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} e^{u} \frac{1}{- 8} d u$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} e^{u} (- \frac{1}{8}) d u$

Passaggio 7.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} - \frac{e^{u}}{8} d u$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} (- \int_{0}^{- 8} \frac{e^{u}}{8} d u)$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{8}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} (- (\frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} e^{u} d u))$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Moltiplica $\frac{1}{8}$ per $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \frac{1}{8 \cdot 8} \int_{0}^{- 8} e^{u} d u$

Passaggio 10.2

Moltiplica $8$ per $8$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \frac{1}{64} \int_{0}^{- 8} e^{u} d u$

Passaggio 11

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \frac{1}{64} e^{u}]_{0}^{- 8}$

Passaggio 12

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Calcola $- \frac{y e^{- 8 y}}{8}$ per $1$ e per $0$ .

$(- \frac{1 e^{- 8 \cdot 1}}{8}) + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} e^{u}]_{0}^{- 8}$

Passaggio 12.2

Calcola $e^{u}$ per $- 8$ e per $0$ .

$(- \frac{1 e^{- 8 \cdot 1}}{8}) + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Passaggio 12.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$- \frac{1 e^{- 8}}{8} + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Passaggio 12.3.2

Moltiplica $e^{- 8}$ per $1$ .

$- \frac{e^{- 8}}{8} + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Passaggio 12.3.3

Sposta $e^{- 8}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Passaggio 12.3.4

Moltiplica $- 8$ per $0$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0 e^{0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Passaggio 12.3.5

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0 \cdot 1}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Passaggio 12.3.6

Moltiplica $0$ per $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Passaggio 12.3.7

Elimina il fattore comune di $0$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.7.1

Scomponi $8$ da $0$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{8 (0)}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Passaggio 12.3.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.7.2.1

Scomponi $8$ da $8$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Passaggio 12.3.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Passaggio 12.3.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0}{1} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Passaggio 12.3.7.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + 0 - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Passaggio 12.3.8

Somma $- \frac{1}{8 e^{8}}$ e $0$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Passaggio 12.3.9

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1 \cdot 1)$

Passaggio 12.3.10

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1)$

Passaggio 12.3.11

Per scrivere $- \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{8 e^{8}}{8 e^{8}}$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1) \cdot \frac{8 e^{8}}{8 e^{8}}$

Passaggio 12.3.12

$- \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1)$ e $\frac{8 e^{8}}{8 e^{8}}$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{- \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1) (8 e^{8})}{8 e^{8}}$

Passaggio 12.3.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 1 - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1) (8 e^{8})}{8 e^{8}}$

Passaggio 12.3.14

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$\frac{- 1 - 8 (\frac{1}{64}) (e^{- 8} - 1) e^{8}}{8 e^{8}}$

Passaggio 12.3.15

$- 8$ e $\frac{1}{64}$ .

$\frac{- 1 + \frac{- 8}{64} (e^{- 8} - 1) e^{8}}{8 e^{8}}$

Passaggio 12.3.16

$e^{8}$ e $\frac{- 8}{64}$ .

$\frac{- 1 + \frac{e^{8} \cdot - 8}{64} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Passaggio 12.3.17

Sposta $- 8$ alla sinistra di $e^{8}$ .

$\frac{- 1 + \frac{- 8 \cdot e^{8}}{64} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Passaggio 12.3.18

Elimina il fattore comune di $- 8$ e $64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.18.1

Scomponi $8$ da $- 8 e^{8}$ .

$\frac{- 1 + \frac{8 (- e^{8})}{64} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Passaggio 12.3.18.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.18.2.1

Scomponi $8$ da $64$ .

$\frac{- 1 + \frac{8 (- e^{8})}{8 (8)} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Passaggio 12.3.18.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1 + \frac{8 (- e^{8})}{8 \cdot 8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Passaggio 12.3.18.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1 + \frac{- e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Passaggio 12.3.19

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{- 1 - \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Passaggio 13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Passaggio 13.2

Scomponi $- 1$ da $- \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)$ .

$\frac{- 1 (1) - (\frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1))}{8 e^{8}}$

Passaggio 13.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (\frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1))$ .

$\frac{- 1 (1 + \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1))}{8 e^{8}}$

Passaggio 13.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1 + \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Passaggio 14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{1 + \frac{e^{8}}{8} e^{- 8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

Passaggio 14.1.2

Moltiplica $\frac{e^{8}}{8} e^{- 8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.2.1

$\frac{e^{8}}{8}$ e $e^{- 8}$ .

$- \frac{1 + \frac{e^{8} e^{- 8}}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

Passaggio 14.1.2.2

Moltiplica $e^{8}$ per $e^{- 8}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.2.2.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{1 + \frac{e^{8 - 8}}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

Passaggio 14.1.2.2.2

Sottrai $8$ da $8$ .

$- \frac{1 + \frac{e^{0}}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

Passaggio 14.1.2.3

Semplifica $e^{0}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

Passaggio 14.1.3

$\frac{e^{8}}{8}$ e $- 1$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{8} + \frac{e^{8} \cdot - 1}{8}}{8 e^{8}}$

Passaggio 14.1.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 14.1.4.1

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{8}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{8} + \frac{- 1 \cdot e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Passaggio 14.1.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1 + \frac{1}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Passaggio 14.1.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{\frac{8}{8} + \frac{1}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Passaggio 14.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{\frac{8 + 1}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Passaggio 14.1.7

Somma $8$ e $1$ .

$- \frac{\frac{9}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Passaggio 14.1.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{\frac{9 - e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Passaggio 14.1.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.9.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$- \frac{\frac{3^{2} - e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Passaggio 14.1.9.2

Riscrivi $e^{8}$ come ${(e^{4})}^{2}$ .

$- \frac{\frac{3^{2} - {(e^{4})}^{2}}{8}}{8 e^{8}}$

Passaggio 14.1.9.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 3$ e $b = e^{4}$ .

$- \frac{\frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8}}{8 e^{8}}$

Passaggio 14.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- (\frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8} \cdot \frac{1}{8 e^{8}})$

Passaggio 14.3

Combina.

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4}) \cdot 1}{8 (8 e^{8})}$

Passaggio 14.4

Moltiplica $3 + e^{4}$ per $1$ .

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8 \cdot 8 e^{8}}$

Passaggio 14.5

Moltiplica $8$ per $8$ .

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8^{2} e^{8}}$

Passaggio 14.6

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{64 e^{8}}$

Passaggio 15

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{64 e^{8}}$

Forma decimale:

$0.01557782 \dots$

Passaggio 16