Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} 11 x^{10} {(1 + x^{11})}^{10} d x$

Passaggio 1

Poiché $11$ è costante rispetto a $x$ , sposta $11$ fuori dall'integrale.

$11 \int_{0}^{1} x^{10} {(1 + x^{11})}^{10} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 1 + x^{11}$ . Allora $d u = 11 x^{10} d x$ , quindi $\frac{1}{11} d u = x^{10} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u = 1 + x^{11}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $1 + x^{11}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{11}]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{11}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{11}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{11}]$

Passaggio 2.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{11}]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 11$ .

$0 + 11 x^{10}$

Passaggio 2.1.5

Somma $0$ e $11 x^{10}$ .

$11 x^{10}$

Passaggio 2.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 1 + x^{11}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{11}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 2.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 1 + x^{11}$ .

$u_{upper} = 1 + 1^{11}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = 1 + 1$

Passaggio 2.5.2

Somma $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$11 \int_{1}^{2} u^{10} \frac{1}{11} d u$

Passaggio 3

$u^{10}$ e $\frac{1}{11}$ .

$11 \int_{1}^{2} \frac{u^{10}}{11} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{11}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{11}$ fuori dall'integrale.

$11 (\frac{1}{11} \int_{1}^{2} u^{10} d u)$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

$\frac{1}{11}$ e $11$ .

$\frac{11}{11} \int_{1}^{2} u^{10} d u$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $11$ .

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{11}{11} \int_{1}^{2} u^{10} d u$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int_{1}^{2} u^{10} d u$

Passaggio 5.3

Moltiplica $\int_{1}^{2} u^{10} d u$ per $1$ .

$\int_{1}^{2} u^{10} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{10}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{11} u^{11}$ .

$\frac{1}{11} u^{11}]_{1}^{2}$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.1

Calcola $\frac{1}{11} u^{11}$ per $2$ e per $1$ .

$(\frac{1}{11} \cdot 2^{11}) - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $11$ .

$\frac{1}{11} \cdot 2048 - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

Passaggio 7.2.2

$\frac{1}{11}$ e $2048$ .

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

Passaggio 7.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11} \cdot 1$

Passaggio 7.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11}$

Passaggio 7.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2048 - 1}{11}$

Passaggio 7.2.6

Sottrai $1$ da $2048$ .

$\frac{2047}{11}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2047}{11}$

Forma decimale:

$186.\overline{09}$

Forma numero misto:

$186 \frac{1}{11}$

Passaggio 9