Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} 8 \cos (\frac{π t}{2}) d t$

Passaggio 1

Poiché $8$ è costante rispetto a $t$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$8 \int_{0}^{1} \cos (\frac{π t}{2}) d t$

Passaggio 2

Sia $u = \frac{π t}{2}$ . Allora $d u = \frac{π}{2} d t$ , quindi $\frac{2}{π} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = \frac{π t}{2}$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $\frac{π t}{2}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{π t}{2}]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $\frac{π}{2}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{π t}{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{π}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{π}{2} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{π}{2} \cdot 1$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $1$ .

$\frac{π}{2}$

Passaggio 2.2

Sostituisci $t$ con il limite inferiore in $u = \frac{π t}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{π \cdot 0}{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Scomponi $2$ da $π \cdot 0$ .

$u_{lower} = \frac{2 (π \cdot 0)}{2}$

Passaggio 2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$u_{lower} = \frac{2 (π \cdot 0)}{2 (1)}$

Passaggio 2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = \frac{2 (π \cdot 0)}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{lower} = \frac{π \cdot 0}{1}$

Passaggio 2.3.1.2.4

Dividi $π \cdot 0$ per $1$ .

$u_{lower} = π \cdot 0$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $π$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 2.4

Sostituisci $t$ con il limite superiore in $u = \frac{π t}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{π \cdot 1}{2}$

Passaggio 2.5

Moltiplica $π$ per $1$ .

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{\frac{π}{2}} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{π}{2}$ .

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) (1 \frac{2}{π}) d u$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{2}{π}$ per $1$ .

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{2}{π} d u$

Passaggio 3.3

$\cos (u)$ e $\frac{2}{π}$ .

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u) \cdot 2}{π} d u$

Passaggio 3.4

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (u)$ .

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{2 \cos (u)}{π} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{2}{π}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{2}{π}$ fuori dall'integrale.

$8 (\frac{2}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

$\frac{2}{π}$ e $8$ .

$\frac{2 \cdot 8}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

Passaggio 5.2

Moltiplica $2$ per $8$ .

$\frac{16}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

Passaggio 6

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{16}{π} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Passaggio 7

Calcola $\sin (u)$ per $\frac{π}{2}$ e per $0$ .

$\frac{16}{π} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$\frac{16}{π} (1 - \sin (0))$

Passaggio 8.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{16}{π} (1 - 0)$

Passaggio 8.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{16}{π} (1 + 0)$

Passaggio 8.4

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{16}{π} \cdot 1$

Passaggio 8.5

Moltiplica $\frac{16}{π}$ per $1$ .

$\frac{16}{π}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{16}{π}$

Forma decimale:

$5.09295817 \dots$