Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} 8 e^{2 x} d x$

Passaggio 1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$8 \int_{0}^{1} e^{2 x} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 2.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Passaggio 2.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 2.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

Passaggio 2.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$u_{upper} = 2$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$8 \int_{0}^{2} e^{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 3

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$8 \int_{0}^{2} \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$8 (\frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{u} d u)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

$\frac{1}{2}$ e $8$ .

$\frac{8}{2} \int_{0}^{2} e^{u} d u$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int_{0}^{2} e^{u} d u$

Passaggio 5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int_{0}^{2} e^{u} d u$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int_{0}^{2} e^{u} d u$

Passaggio 5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{1} \int_{0}^{2} e^{u} d u$

Passaggio 5.2.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$4 \int_{0}^{2} e^{u} d u$

Passaggio 6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$4 (e^{u}]_{0}^{2})$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Calcola $e^{u}$ per $2$ e per $0$ .

$4 ((e^{2}) - e^{0})$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$4 (e^{2} - 1 \cdot 1)$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$4 (e^{2} - 1)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 e^{2} + 4 \cdot - 1$

Passaggio 8.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$4 e^{2} - 4$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$4 e^{2} - 4$

Forma decimale:

$25.55622439 \dots$

Passaggio 10