Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} \arcsin (y) d y$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \arcsin (y)$ e $d v = 1$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} y \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} d y$

Passaggio 2

$y$ e $\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{y}{\sqrt{1 - y^{2}}} d y$

Passaggio 3

Sia $u = 1 - y^{2}$ . Allora $d u = - 2 y d y$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = y d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = 1 - y^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $1 - y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia.

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Passaggio 3.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Passaggio 3.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Passaggio 3.1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

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Passaggio 3.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y^{2}$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 3.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - (2 y)$

Passaggio 3.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 - 2 y$

Passaggio 3.1.4

Sottrai $2 y$ da $0$ .

$- 2 y$

Passaggio 3.2

Sostituisci $y$ con il limite inferiore in $u = 1 - y^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Passaggio 3.3.2

Somma $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 3.4

Sostituisci $y$ con il limite superiore in $u = 1 - y^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - 1^{2}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.5.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Passaggio 3.5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$u_{upper} = 0$

Passaggio 3.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Passaggio 3.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Passaggio 4.3

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{u}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - - \int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + 1 \int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 6.2

Moltiplica $\int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$ per $1$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 8

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 8.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 8.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 8.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 8.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 8.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{0}$

Passaggio 10

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 10.1

Calcola $\arcsin (y) y$ per $1$ e per $0$ .

$(\arcsin (1) \cdot 1) - \arcsin (0) \cdot 0 + \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{0}$

Passaggio 10.2

Calcola $2 u^{\frac{1}{2}}$ per $0$ e per $1$ .

$(\arcsin (1) \cdot 1) - \arcsin (0) \cdot 0 + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 10.3

Semplifica.

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Passaggio 10.3.1

Moltiplica $\arcsin (1)$ per $1$ .

$\arcsin (1) - \arcsin (0) \cdot 0 + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 10.3.2

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$\arcsin (1) + 0 \arcsin (0) + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 10.3.3

Moltiplica $0$ per $\arcsin (0)$ .

$\arcsin (1) + 0 + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 10.3.4

Somma $\arcsin (1)$ e $0$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 10.3.5

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 10.3.6

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 10.3.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 10.3.7.1

Elimina il fattore comune.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 10.3.7.2

Riscrivi l'espressione.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 10.3.8

Calcola l'esponente.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 10.3.9

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (0 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 10.3.10

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (0 - 2 \cdot 1)$

Passaggio 10.3.11

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (0 - 2)$

Passaggio 10.3.12

Sottrai $2$ da $0$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} \cdot - 2$

Passaggio 10.3.13

$\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$\arcsin (1) + \frac{- 2}{2}$

Passaggio 10.3.14

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

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Passaggio 10.3.14.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\arcsin (1) + \frac{2 \cdot - 1}{2}$

Passaggio 10.3.14.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 10.3.14.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\arcsin (1) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Passaggio 10.3.14.2.2

Elimina il fattore comune.

$\arcsin (1) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 10.3.14.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\arcsin (1) + \frac{- 1}{1}$

Passaggio 10.3.14.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\arcsin (1) - 1$

Passaggio 11

Il valore esatto di $\arcsin (1)$ è $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2} - 1$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{π}{2} - 1$

Forma decimale:

$0.57079632 \dots$