Calcolo Esempi

$y = x^{3} \cos (x^{2})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \cos (x^{2})$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})] + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$x^{3} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$x^{3} (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{3} (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x^{3} (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 4

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.1

Sposta $x$ .

$x \cdot x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 4.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

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Passaggio 4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{1} x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{1 + 3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 4.3

Somma $1$ e $3$ .

$x^{4} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x^{4} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (3 x^{2})$

Passaggio 6

Riordina i termini.

$- 2 x^{4} \sin (x^{2}) + 3 x^{2} \cos (x^{2})$