Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} 9 x {(x^{2} - 1)}^{9} d x$

Passaggio 1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$9 \int_{0}^{1} x {(x^{2} - 1)}^{9} d x$

Passaggio 2

Sia $u = x^{2} - 1$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u = x^{2} - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 2.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 2.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = x^{2} - 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} - 1$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 0 - 1$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Passaggio 2.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = x^{2} - 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} - 1$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = 1 - 1$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$u_{upper} = 0$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 0$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$9 \int_{- 1}^{0} u^{9} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 3

$u^{9}$ e $\frac{1}{2}$ .

$9 \int_{- 1}^{0} \frac{u^{9}}{2} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$9 (\frac{1}{2} \int_{- 1}^{0} u^{9} d u)$

Passaggio 5

$\frac{1}{2}$ e $9$ .

$\frac{9}{2} \int_{- 1}^{0} u^{9} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{9}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$\frac{9}{2} \frac{1}{10} u^{10}]_{- 1}^{0}$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.1

Calcola $\frac{1}{10} u^{10}$ per $0$ e per $- 1$ .

$\frac{9}{2} ((\frac{1}{10} \cdot 0^{10}) - \frac{1}{10} {(- 1)}^{10})$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{9}{2} (\frac{1}{10} \cdot 0 - \frac{1}{10} {(- 1)}^{10})$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $\frac{1}{10}$ per $0$ .

$\frac{9}{2} (0 - \frac{1}{10} {(- 1)}^{10})$

Passaggio 7.2.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $10$ .

$\frac{9}{2} (0 - \frac{1}{10} \cdot 1)$

Passaggio 7.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{9}{2} (0 - \frac{1}{10})$

Passaggio 7.2.5

Sottrai $\frac{1}{10}$ da $0$ .

$\frac{9}{2} (- \frac{1}{10})$

Passaggio 7.2.6

Moltiplica $\frac{9}{2}$ per $\frac{1}{10}$ .

$- \frac{9}{2 \cdot 10}$

Passaggio 7.2.7

Moltiplica $2$ per $10$ .

$- \frac{9}{20}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{9}{20}$

Forma decimale:

$- 0.45$

Passaggio 9