Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} \sin (3 π t) d t$

Passaggio 1

Sia $u = 3 π t$ . Allora $d u = 3 π d t$ , quindi $\frac{1}{3 π} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = 3 π t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $3 π t$ .

$\frac{d}{d t} [3 π t]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $3 π$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3 π t$ rispetto a $t$ è $3 π \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 π \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 π \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 π$

Passaggio 1.2

Sostituisci $t$ con il limite inferiore in $u = 3 π t$ .

$u_{lower} = 3 π \cdot 0$

Passaggio 1.3

Moltiplica $3 π \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $0$ per $3$ .

$u_{lower} = 0 π$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $0$ per $π$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci $t$ con il limite superiore in $u = 3 π t$ .

$u_{upper} = 3 π \cdot 1$

Passaggio 1.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$u_{upper} = 3 π$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3 π$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{3 π} \sin (u) \frac{1}{3 π} d u$

Passaggio 2

$\sin (u)$ e $\frac{1}{3 π}$ .

$\int_{0}^{3 π} \frac{\sin (u)}{3 π} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{3 π}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3 π}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3 π} \int_{0}^{3 π} \sin (u) d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{3 π} - \cos (u)]_{0}^{3 π}$

Passaggio 5

Calcola $- \cos (u)$ per $3 π$ e per $0$ .

$\frac{1}{3 π} (- \cos (3 π) + \cos (0))$

Passaggio 6

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{3 π} (- \cos (3 π) + 1)$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{1}{3 π} (- \cos (π) + 1)$

Passaggio 7.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{1}{3 π} (- - \cos (0) + 1)$

Passaggio 7.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{3 π} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

Passaggio 7.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{3 π} (- - 1 + 1)$

Passaggio 7.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{3 π} (1 + 1)$

Passaggio 7.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{3 π} \cdot 2$

Passaggio 7.7

$\frac{1}{3 π}$ e $2$ .

$\frac{2}{3 π}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2}{3 π}$

Forma decimale:

$0.21220659 \dots$