Calcolo Esempi

$\int_{0}^{10} 3 e^{0.7 (10 - t)} d t$

Passaggio 1

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int_{0}^{10} e^{0.7 (10 - t)} d t$

Passaggio 2

Sia $u = 0.7 (10 - t)$ . Allora $d u = - 0.7 d t$ , quindi $\frac{1}{- 0.7} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 0.7 (10 - t)$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $0.7 (10 - t)$ .

$\frac{d}{d t} [0.7 (10 - t)]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $0.7$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $0.7 (10 - t)$ rispetto a $t$ è $0.7 \frac{d}{d t} [10 - t]$ .

$0.7 \frac{d}{d t} [10 - t]$

Passaggio 2.1.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $10 - t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$0.7 (\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- t])$

Passaggio 2.1.4

Poiché $10$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $10$ rispetto a $t$ è $0$ .

$0.7 (0 + \frac{d}{d t} [- t])$

Passaggio 2.1.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$0.7 \frac{d}{d t} [- t]$

Passaggio 2.1.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$0.7 (- \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 2.1.7

Moltiplica $- 1$ per $0.7$ .

$- 0.7 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 2.1.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 0.7 \cdot 1$

Passaggio 2.1.9

Moltiplica $- 0.7$ per $1$ .

$- 0.7$

Passaggio 2.2

Sostituisci $t$ con il limite inferiore in $u = 0.7 (10 - t)$ .

$u_{lower} = 0.7 (10 - 0)$

Passaggio 2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Sottrai $0$ da $10$ .

$u_{lower} = 0.7 \cdot 10$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $0.7$ per $10$ .

$u_{lower} = 7$

Passaggio 2.4

Sostituisci $t$ con il limite superiore in $u = 0.7 (10 - t)$ .

$u_{upper} = 0.7 (10 - 1 \cdot 10)$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$u_{upper} = 0.7 (10 - 10)$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $10$ da $10$ .

$u_{upper} = 0.7 \cdot 0$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $0.7$ per $0$ .

$u_{upper} = 0$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 7$

$u_{upper} = 0$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$3 \int_{7}^{0} e^{u} \frac{1}{- 0.7} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 \int_{7}^{0} e^{u} (- \frac{1}{0.7}) d u$

Passaggio 3.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{0.7}$ .

$3 \int_{7}^{0} - \frac{e^{u}}{0.7} d u$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$3 (- \int_{7}^{0} \frac{e^{u}}{0.7} d u)$

Passaggio 5

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 \int_{7}^{0} \frac{e^{u}}{0.7} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{0.7}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{0.7}$ fuori dall'integrale.

$- 3 (\frac{1}{0.7} \int_{7}^{0} e^{u} d u)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

$\frac{1}{0.7}$ e $- 3$ .

$\frac{- 3}{0.7} \int_{7}^{0} e^{u} d u$

Passaggio 7.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{0.7} \int_{7}^{0} e^{u} d u$

Passaggio 8

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- \frac{3}{0.7} e^{u}]_{7}^{0}$

Passaggio 9

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 9.1

Calcola $e^{u}$ per $0$ e per $7$ .

$- \frac{3}{0.7} ((e^{0}) - e^{7})$

Passaggio 9.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$- \frac{3}{0.7} (1 - e^{7})$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Dividi $3$ per $0.7$ .

$- 1 \cdot 4.\overline{285714} (1 - e^{7})$

Passaggio 10.2

Moltiplica $- 1$ per $4.\overline{285714}$ .

$- 4.\overline{285714} (1 - e^{7})$

Passaggio 10.3

Moltiplica $- 4.\overline{285714}$ per $1 - e^{7}$ .

$4695.57067897$

Passaggio 11