Calcolo Esempi

$\int_{0}^{8} 8 e^{- x} d x$

Passaggio 1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$8 \int_{0}^{8} e^{- x} d x$

Passaggio 2

Sia $u = - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Passaggio 2.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 2.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 8$

Passaggio 2.5

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$u_{upper} = - 8$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 8$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$8 \int_{0}^{- 8} - e^{u} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$8 (- \int_{0}^{- 8} e^{u} d u)$

Passaggio 4

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$- 8 \int_{0}^{- 8} e^{u} d u$

Passaggio 5

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- 8 (e^{u}]_{0}^{- 8})$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $e^{u}$ per $- 8$ e per $0$ .

$- 8 ((e^{- 8}) - e^{0})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$- 8 (e^{- 8} - 1 \cdot 1)$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 8 (e^{- 8} - 1)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 8 e^{- 8} - 8 \cdot - 1$

Passaggio 7.2

Moltiplica $- 8$ per $- 1$ .

$- 8 e^{- 8} + 8$

Passaggio 7.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{e^{8}} + 8$

Passaggio 7.3.2

$- 8$ e $\frac{1}{e^{8}}$ .

$\frac{- 8}{e^{8}} + 8$

Passaggio 7.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{8}{e^{8}} + 8$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{8}{e^{8}} + 8$

Forma decimale:

$7.99731629 \dots$

Passaggio 9