Calcolo Esempi

$\int_{0}^{8} {(\frac{2 - 3 x}{4})}^{2} d x$

Passaggio 1

Sia $u = \frac{2 - 3 x}{4}$ . Allora $d u = - \frac{3}{4} d x$ , quindi $- \frac{4}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = \frac{2 - 3 x}{4}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $\frac{2 - 3 x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 - 3 x}{4}]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 - 3 x}{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [2 - 3 x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [2 - 3 x]$

Passaggio 1.1.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 - 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Passaggio 1.1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{4} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Passaggio 1.1.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 1.1.6

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} (- 3 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

$- 3$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 3}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.7.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{3}{4} \cdot 1$

Passaggio 1.1.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{3}{4}$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = \frac{2 - 3 x}{4}$ .

$u_{lower} = \frac{2 - 3 \cdot 0}{4}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune di $2 - 3 \cdot 0$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2) - 3 \cdot 0}{4}$

Passaggio 1.3.1.2

Scomponi $- 1$ da $- 3 \cdot 0$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2) - (3 \cdot 0)}{4}$

Passaggio 1.3.1.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (- 2) - (3 \cdot 0)$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2 + 3 \cdot 0)}{4}$

Passaggio 1.3.1.4

Riordina i termini.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2 + 0 \cdot 3)}{4}$

Passaggio 1.3.1.5

Scomponi $2$ da $- 1 (- 2 + 0 \cdot 3)$ .

$u_{lower} = \frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}{4}$

Passaggio 1.3.1.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.6.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$u_{lower} = \frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}{2 (2)}$

Passaggio 1.3.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = \frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.3.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 1 + 0 \cdot 3)}{2}$

Passaggio 1.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Moltiplica $0$ per $3$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 1 + 0)}{2}$

Passaggio 1.3.2.2

Somma $- 1$ e $0$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 \cdot - 1}{2}$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = \frac{2 - 3 x}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{2 - 3 \cdot 8}{4}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune di $2 - 3 \cdot 8$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 2) - 3 \cdot 8}{4}$

Passaggio 1.5.1.2

Scomponi $- 1$ da $- 3 \cdot 8$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 2) - (3 \cdot 8)}{4}$

Passaggio 1.5.1.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (- 2) - (3 \cdot 8)$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 2 + 3 \cdot 8)}{4}$

Passaggio 1.5.1.4

Riordina i termini.

$u_{upper} = \frac{- 1 (3 \cdot 8 - 2)}{4}$

Passaggio 1.5.1.5

Scomponi $2$ da $- 1 (3 \cdot 8 - 2)$ .

$u_{upper} = \frac{2 (- 1 (3 \cdot 4 - 1))}{4}$

Passaggio 1.5.1.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.6.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$u_{upper} = \frac{2 (- 1 (3 \cdot 4 - 1))}{2 (2)}$

Passaggio 1.5.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = \frac{2 (- 1 (3 \cdot 4 - 1))}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.5.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = \frac{- 1 (3 \cdot 4 - 1)}{2}$

Passaggio 1.5.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Moltiplica $3$ per $4$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (12 - 1)}{2}$

Passaggio 1.5.2.2

Sottrai $1$ da $12$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 \cdot 11}{2}$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $- 1$ per $11$ .

$u_{upper} = \frac{- 11}{2}$

Passaggio 1.5.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$u_{upper} = - \frac{11}{2}$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

$u_{upper} = - \frac{11}{2}$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} \frac{- 1}{- \frac{3}{4}} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} \frac{1}{\frac{3}{4}} d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{3}{4}$ .

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} (1 (\frac{4}{3})) d u$

Passaggio 2.3

Moltiplica $\frac{4}{3}$ per $1$ .

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} \frac{4}{3} d u$

Passaggio 2.4

$\frac{4}{3}$ e $u^{2}$ .

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - \frac{4 u^{2}}{3} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} \frac{4 u^{2}}{3} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{4}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{4}{3}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{4}{3} \int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} u^{2} d u)$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- \frac{4}{3} \frac{1}{3} u^{3}]_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Calcola $\frac{1}{3} u^{3}$ per $- \frac{11}{2}$ e per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{4}{3} ((\frac{1}{3} {(- \frac{11}{2})}^{3}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $- 1$ da $- \frac{11}{2}$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} {(- (\frac{11}{2}))}^{3} - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Passaggio 6.2.2

Applica la regola del prodotto a $- (\frac{11}{2})$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} ({(- 1)}^{3} {(\frac{11}{2})}^{3}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Passaggio 6.2.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- {(\frac{11}{2})}^{3}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{11}{2}$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- \frac{11^{3}}{2^{3}}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Passaggio 7.1.2

Eleva $11$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- \frac{1331}{2^{3}}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Passaggio 7.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- \frac{1331}{8}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica $\frac{1}{3} (- \frac{1331}{8})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.4.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1331}{8}$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{3 \cdot 8} - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Passaggio 7.1.4.2

Moltiplica $3$ per $8$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Passaggio 7.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1^{3}}{2^{3}})$

Passaggio 7.1.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^{3}})$

Passaggio 7.1.7

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8})$

Passaggio 7.1.8

Moltiplica $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.8.1

Moltiplica $\frac{1}{8}$ per $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{8 \cdot 3})$

Passaggio 7.1.8.2

Moltiplica $8$ per $3$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{24})$

Passaggio 7.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{- 1331 - 1}{24}$

Passaggio 7.3

Sottrai $1$ da $- 1331$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{- 1332}{24}$

Passaggio 7.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{4}{3}$ nel numeratore.

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{- 1332}{24}$

Passaggio 7.4.2

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$\frac{4 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 1332}{24}$

Passaggio 7.4.3

Scomponi $4$ da $24$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 1332}{4 \cdot 6}$

Passaggio 7.4.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 1332}{4 \cdot 6}$

Passaggio 7.4.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{- 1332}{6}$

Passaggio 7.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Scomponi $3$ da $- 1332$ .

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 (- 444)}{6}$

Passaggio 7.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 \cdot - 444}{6}$

Passaggio 7.5.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{- 444}{6}$

Passaggio 7.6

Dividi $- 444$ per $6$ .

$- - 74$

Passaggio 7.7

Moltiplica $- 1$ per $- 74$ .

$74$

Passaggio 8