Calcolo Esempi

$\int_{0}^{8} x e^{1 - x} d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{1 - x}$ .

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - \int_{0}^{8} - e^{1 - x} d x$

Passaggio 2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - - \int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} + 1 \int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$ per $1$ .

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} + \int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$

Passaggio 4

Sia $u = 1 - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = 1 - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

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Passaggio 4.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 - 1$

Passaggio 4.1.4

Sottrai $1$ da $0$ .

$- 1$

Passaggio 4.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 1 - x$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Passaggio 4.3

Sottrai $0$ da $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 4.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 1 - x$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 8$

Passaggio 4.5

Semplifica.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$u_{upper} = 1 - 8$

Passaggio 4.5.2

Sottrai $8$ da $1$ .

$u_{upper} = - 7$

Passaggio 4.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 7$

Passaggio 4.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} + \int_{1}^{- 7} - e^{u} d u$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - \int_{1}^{- 7} e^{u} d u$

Passaggio 6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - (e^{u}]_{1}^{- 7})$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.1

Calcola $x (- e^{1 - x})$ per $8$ e per $0$ .

$(8 (- e^{1 - 1 \cdot 8})) + 0 (- e^{1 - 0}) - (e^{u}]_{1}^{- 7})$

Passaggio 7.2

Calcola $e^{u}$ per $- 7$ e per $1$ .

$(8 (- e^{1 - 1 \cdot 8})) + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Passaggio 7.3

Semplifica.

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Passaggio 7.3.1

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$8 (- e^{1 - 8}) + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Passaggio 7.3.2

Sottrai $8$ da $1$ .

$8 (- e^{- 7}) + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Passaggio 7.3.3

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Passaggio 7.3.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e^{1 + 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Passaggio 7.3.5

Somma $1$ e $0$ .

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e^{1}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Passaggio 7.3.6

Semplifica.

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Passaggio 7.3.7

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- 8 e^{- 7} + 0 e - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Passaggio 7.3.8

Moltiplica $0$ per $e$ .

$- 8 e^{- 7} + 0 - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Passaggio 7.3.9

Somma $- 8 e^{- 7}$ e $0$ .

$- 8 e^{- 7} - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Passaggio 7.3.10

Semplifica.

$- 8 e^{- 7} - (e^{- 7} - e)$

Passaggio 8

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{e^{7}} - (e^{- 7} - e)$

Passaggio 8.2

$- 8$ e $\frac{1}{e^{7}}$ .

$\frac{- 8}{e^{7}} - (e^{- 7} - e)$

Passaggio 8.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{8}{e^{7}} - (e^{- 7} - e)$

Passaggio 8.4

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} - - e$

Passaggio 8.5

Moltiplica $- - e$ .

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Passaggio 8.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} + 1 e$

Passaggio 8.5.2

Moltiplica $e$ per $1$ .

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} + e$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} + e$

Forma decimale:

$2.71007489 \dots$

Passaggio 10