Calcolo Esempi

$\int_{0}^{7} \frac{3 y^{2} - 2 y + 5}{y^{3} - y^{2} + 5 y + 1} d y$

Passaggio 1

Sia $u = y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ . Allora $d u = (3 y^{2} - 2 y + 5) d y$ , quindi $\frac{1}{3 y^{2} - 2 y + 5} d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} - y^{2} + 5 y + 1]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y^{2}$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$3 y^{2} - \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 y^{2} - (2 y) + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$3 y^{2} - 2 y + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d y} [5 y]$ .

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $5 y$ rispetto a $y$ è $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 y^{2} - 2 y + 5 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 y^{2} - 2 y + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$3 y^{2} - 2 y + 5 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 1.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.5.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$3 y^{2} - 2 y + 5 + 0$

Passaggio 1.1.5.2

Somma $3 y^{2} - 2 y + 5$ e $0$ .

$3 y^{2} - 2 y + 5$

Passaggio 1.2

Sostituisci $y$ con il limite inferiore in $u = y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ .

$u_{lower} = 0^{3} - 0^{2} + 5 \cdot 0 + 1$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 0 - 0^{2} + 5 \cdot 0 + 1$

Passaggio 1.3.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 0 - 0 + 5 \cdot 0 + 1$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 5 \cdot 0 + 1$

Passaggio 1.3.1.4

Moltiplica $5$ per $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 0 + 1$

Passaggio 1.3.2

Somma $0$ e $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

Passaggio 1.3.3

Somma $0$ e $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Passaggio 1.3.4

Somma $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci $y$ con il limite superiore in $u = y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ .

$u_{upper} = 7^{3} - 7^{2} + 5 \cdot 7 + 1$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.1.1

Eleva $7$ alla potenza di $3$ .

$u_{upper} = 343 - 7^{2} + 5 \cdot 7 + 1$

Passaggio 1.5.1.2

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$u_{upper} = 343 - 1 \cdot 49 + 5 \cdot 7 + 1$

Passaggio 1.5.1.3

Moltiplica $- 1$ per $49$ .

$u_{upper} = 343 - 49 + 5 \cdot 7 + 1$

Passaggio 1.5.1.4

Moltiplica $5$ per $7$ .

$u_{upper} = 343 - 49 + 35 + 1$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $49$ da $343$ .

$u_{upper} = 294 + 35 + 1$

Passaggio 1.5.3

Somma $294$ e $35$ .

$u_{upper} = 329 + 1$

Passaggio 1.5.4

Somma $329$ e $1$ .

$u_{upper} = 330$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 330$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{330} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{1}^{330}$

Passaggio 3

Calcola $\ln (| u |)$ per $330$ e per $1$ .

$\ln (| 330 |) - \ln (| 1 |)$

Passaggio 4

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 330 |}{| 1 |})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $330$ è $330$ .

$\ln (\frac{330}{| 1 |})$

Passaggio 5.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\ln (\frac{330}{1})$

Passaggio 5.3

Dividi $330$ per $1$ .

$\ln (330)$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\ln (330)$

Forma decimale:

$5.79909265 \dots$

Passaggio 7