Calcolo Esempi

$\int_{0}^{6} 10 e^{- \frac{1}{2} t} d t$

Passaggio 1

$t$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{6} 10 e^{- \frac{t}{2}} d t$

Passaggio 2

Poiché $10$ è costante rispetto a $t$ , sposta $10$ fuori dall'integrale.

$10 \int_{0}^{6} e^{- \frac{t}{2}} d t$

Passaggio 3

Sia $u = - \frac{t}{2}$ . Allora $d u = - \frac{1}{2} d t$ , quindi $- 2 d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u = - \frac{t}{2}$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $- \frac{t}{2}$ .

$\frac{d}{d t} [- \frac{t}{2}]$

Passaggio 3.1.2

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- \frac{t}{2}$ rispetto a $t$ è $- \frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 3.2

Sostituisci $t$ con il limite inferiore in $u = - \frac{t}{2}$ .

$u_{lower} = - \frac{0}{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$u_{lower} = - 0$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 3.4

Sostituisci $t$ con il limite superiore in $u = - \frac{t}{2}$ .

$u_{upper} = - \frac{6}{2}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

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Passaggio 3.5.1

Dividi $6$ per $2$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 3$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$u_{upper} = - 3$

Passaggio 3.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 3$

Passaggio 3.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$10 \int_{0}^{- 3} - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$10 \int_{0}^{- 3} - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4.2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{2}$ .

$10 \int_{0}^{- 3} - e^{u} (1 \cdot 2) d u$

Passaggio 4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$10 \int_{0}^{- 3} - e^{u} \cdot 2 d u$

Passaggio 4.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$10 \int_{0}^{- 3} - 2 e^{u} d u$

Passaggio 5

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$10 (- 2 \int_{0}^{- 3} e^{u} d u)$

Passaggio 6

Moltiplica $- 2$ per $10$ .

$- 20 \int_{0}^{- 3} e^{u} d u$

Passaggio 7

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- 20 (e^{u}]_{0}^{- 3})$

Passaggio 8

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 8.1

Calcola $e^{u}$ per $- 3$ e per $0$ .

$- 20 ((e^{- 3}) - e^{0})$

Passaggio 8.2

Semplifica.

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Passaggio 8.2.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$- 20 (e^{- 3} - 1 \cdot 1)$

Passaggio 8.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 20 (e^{- 3} - 1)$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 20 e^{- 3} - 20 \cdot - 1$

Passaggio 9.2

Moltiplica $- 20$ per $- 1$ .

$- 20 e^{- 3} + 20$

Passaggio 9.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 9.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 20 \frac{1}{e^{3}} + 20$

Passaggio 9.3.2

$- 20$ e $\frac{1}{e^{3}}$ .

$\frac{- 20}{e^{3}} + 20$

Passaggio 9.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{20}{e^{3}} + 20$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{20}{e^{3}} + 20$

Forma decimale:

$19.00425863 \dots$

Passaggio 11