Calcolo Esempi

$\int_{0}^{7} x \sqrt[3]{x + 1} d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \sqrt[3]{x + 1}$ .

$x (\frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{3}{4}$ e ${(x + 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

$x \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x$

Passaggio 2.2

$x$ e $\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}$ .

$\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{3}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{3}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - (\frac{3}{4} \int_{0}^{7} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x)$

Passaggio 4

Sia $u = x + 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u = x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 4.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 4.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Passaggio 4.3

Somma $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 4.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 7 + 1$

Passaggio 4.5

Somma $7$ e $1$ .

$u_{upper} = 8$

Passaggio 4.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

Passaggio 4.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{3}{4} \int_{1}^{8} u^{\frac{4}{3}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{4}{3}}$ rispetto a $u$ è $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{3}{4} \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}]_{1}^{8}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}$ per $7$ e per $0$ .

$(\frac{7 (3 {(7 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}]_{1}^{8}$

Passaggio 6.2

Calcola $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ per $8$ e per $1$ .

$(\frac{7 (3 {(7 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Passaggio 6.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Somma $7$ e $1$ .

$\frac{7 (3 \cdot 8^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Passaggio 6.3.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$\frac{7 (3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Passaggio 6.3.3

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7 (3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Passaggio 6.3.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{7 (3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Passaggio 6.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{7 (3 \cdot 2^{4})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Passaggio 6.3.5

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$\frac{7 (3 \cdot 16)}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Passaggio 6.3.6

Moltiplica $3$ per $16$ .

$\frac{7 \cdot 48}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Passaggio 6.3.7

Moltiplica $7$ per $48$ .

$\frac{336}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Passaggio 6.3.8

Elimina il fattore comune di $336$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.1

Scomponi $4$ da $336$ .

$\frac{4 \cdot 84}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Passaggio 6.3.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{4 \cdot 84}{4 (1)} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Passaggio 6.3.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot 84}{4 \cdot 1} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Passaggio 6.3.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{84}{1} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Passaggio 6.3.8.2.4

Dividi $84$ per $1$ .

$84 - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Passaggio 6.3.9

Somma $0$ e $1$ .

$84 - \frac{0 (3 \cdot 1^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Passaggio 6.3.10

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$84 - \frac{0 (3 \cdot 1)}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Passaggio 6.3.11

Moltiplica $3$ per $1$ .

$84 - \frac{0 \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Passaggio 6.3.12

Moltiplica $0$ per $3$ .

$84 - \frac{0}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Passaggio 6.3.13

Elimina il fattore comune di $0$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.13.1

Scomponi $4$ da $0$ .

$84 - \frac{4 (0)}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Passaggio 6.3.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.13.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$84 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Passaggio 6.3.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$84 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Passaggio 6.3.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$84 - \frac{0}{1} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Passaggio 6.3.13.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$84 - 0 - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Passaggio 6.3.14

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$84 + 0 - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Passaggio 6.3.15

Somma $84$ e $0$ .

$84 - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Passaggio 6.3.16

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$84 - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} \cdot {(2^{3})}^{\frac{7}{3}} - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Passaggio 6.3.17

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$84 - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} \cdot 2^{3 (\frac{7}{3})} - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Passaggio 6.3.18

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.18.1

Elimina il fattore comune.

$84 - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} \cdot 2^{3 (\frac{7}{3})} - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Passaggio 6.3.18.2

Riscrivi l'espressione.

$84 - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} \cdot 2^{7} - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Passaggio 6.3.19

Eleva $2$ alla potenza di $7$ .

$84 - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} \cdot 128 - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Passaggio 6.3.20

$\frac{3}{7}$ e $128$ .

$84 - \frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 128}{7} - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Passaggio 6.3.21

Moltiplica $3$ per $128$ .

$84 - \frac{3}{4} (\frac{384}{7} - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Passaggio 6.3.22

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$84 - \frac{3}{4} (\frac{384}{7} - \frac{3}{7} \cdot 1)$

Passaggio 6.3.23

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$84 - \frac{3}{4} (\frac{384}{7} - \frac{3}{7})$

Passaggio 6.3.24

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$84 - \frac{3}{4} \cdot \frac{384 - 3}{7}$

Passaggio 6.3.25

Sottrai $3$ da $384$ .

$84 - \frac{3}{4} \cdot \frac{381}{7}$

Passaggio 6.3.26

Moltiplica $\frac{381}{7}$ per $\frac{3}{4}$ .

$84 - \frac{381 \cdot 3}{7 \cdot 4}$

Passaggio 6.3.27

Moltiplica $381$ per $3$ .

$84 - \frac{1143}{7 \cdot 4}$

Passaggio 6.3.28

Moltiplica $7$ per $4$ .

$84 - \frac{1143}{28}$

Passaggio 6.3.29

Per scrivere $84$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{28}{28}$ .

$84 \cdot \frac{28}{28} - \frac{1143}{28}$

Passaggio 6.3.30

$84$ e $\frac{28}{28}$ .

$\frac{84 \cdot 28}{28} - \frac{1143}{28}$

Passaggio 6.3.31

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{84 \cdot 28 - 1143}{28}$

Passaggio 6.3.32

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.32.1

Moltiplica $84$ per $28$ .

$\frac{2352 - 1143}{28}$

Passaggio 6.3.32.2

Sottrai $1143$ da $2352$ .

$\frac{1209}{28}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1209}{28}$

Forma decimale:

$43.17857142 \dots$

Forma numero misto:

$43 \frac{5}{28}$

Passaggio 8