Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\ln (16)} e^{\frac{x}{4}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = \frac{x}{4}$ . Allora $d u = \frac{1}{4} d x$ , quindi $4 d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \frac{x}{4}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$\frac{1}{4}$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = \frac{x}{4}$ .

$u_{lower} = \frac{0}{4}$

Passaggio 1.3

Dividi $0$ per $4$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = \frac{x}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{\ln (16)}{4}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Riscrivi $\ln (16)$ come $\ln (2^{4})$ .

$u_{upper} = \frac{\ln (2^{4})}{4}$

Passaggio 1.5.2

Espandi $\ln (2^{4})$ spostando $4$ fuori dal logaritmo.

$u_{upper} = \frac{4 \ln (2)}{4}$

Passaggio 1.5.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 1.5.3.1

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = \frac{4 \ln (2)}{4}$

Passaggio 1.5.3.2

Dividi $\ln (2)$ per $1$ .

$u_{upper} = \ln (2)$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (2)$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{\ln (2)} e^{u} \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{4}$ .

$\int_{0}^{\ln (2)} e^{u} (1 \cdot 4) d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\int_{0}^{\ln (2)} e^{u} \cdot 4 d u$

Passaggio 2.3

Sposta $4$ alla sinistra di $e^{u}$ .

$\int_{0}^{\ln (2)} 4 e^{u} d u$

Passaggio 3

Poiché $4$ è costante rispetto a $u$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int_{0}^{\ln (2)} e^{u} d u$

Passaggio 4

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$4 (e^{u}]_{0}^{\ln (2)})$

Passaggio 5

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 5.1

Calcola $e^{u}$ per $\ln (2)$ e per $0$ .

$4 ((e^{\ln (2)}) - e^{0})$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$4 (2 - e^{0})$

Passaggio 5.2.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$4 (2 - 1 \cdot 1)$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$4 (2 - 1)$

Passaggio 5.2.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$4 \cdot 1$

Passaggio 5.2.5

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4$

Passaggio 6