Calcolo Esempi

$\int_{0}^{3} 8 x^{3} e^{x^{4}} d x$

Passaggio 1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$8 \int_{0}^{3} x^{3} e^{x^{4}} d x$

Passaggio 2

Sia $u_{1} = x^{2}$ . Allora $d u_{1} = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u_{1} = x^{2}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x$

Passaggio 2.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Passaggio 2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 2.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{upper} = 3^{2}$

Passaggio 2.5

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$u_{upper} = 9$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 9$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$8 \int_{0}^{9} u_{1} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ come ${u_{1}}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{1}}$ come ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \int_{0}^{9} u_{1} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.1.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$8 \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$8 \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$8 \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$8 \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$8 \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.1.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$8 \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.2

$\frac{1}{2}$ e $u_{1}$ .

$8 \int_{0}^{9} \frac{u_{1}}{2} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Passaggio 3.3

$\frac{u_{1}}{2}$ e $e^{{u_{1}}^{2}}$ .

$8 \int_{0}^{9} \frac{u_{1} e^{{u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$8 (\frac{1}{2} \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1})$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

$\frac{1}{2}$ e $8$ .

$\frac{8}{2} \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Passaggio 5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Passaggio 5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{1} \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Passaggio 5.2.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$4 \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Passaggio 6

Sia $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Allora $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Passaggio 6.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Passaggio 6.2

Sostituisci $u_{1}$ con il limite inferiore in $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Passaggio 6.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 6.4

Sostituisci $u_{1}$ con il limite superiore in $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{upper} = 9^{2}$

Passaggio 6.5

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$u_{upper} = 81$

Passaggio 6.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 81$

Passaggio 6.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$4 \int_{0}^{81} e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 7

$e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$4 \int_{0}^{81} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{1}{2} \int_{0}^{81} e^{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\frac{4}{2} \int_{0}^{81} e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int_{0}^{81} e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 9.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int_{0}^{81} e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 9.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int_{0}^{81} e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 9.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{1} \int_{0}^{81} e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 9.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$2 \int_{0}^{81} e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 10

L'integrale di $e^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $e^{u_{2}}$ .

$2 (e^{u_{2}}]_{0}^{81})$

Passaggio 11

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Calcola $e^{u_{2}}$ per $81$ e per $0$ .

$2 ((e^{81}) - e^{0})$

Passaggio 11.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$2 (e^{81} - 1 \cdot 1)$

Passaggio 11.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 (e^{81} - 1)$

Passaggio 12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 e^{81} + 2 \cdot - 1$

Passaggio 12.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 e^{81} - 2$

Passaggio 13

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$2 e^{81} - 2$

Forma decimale:

$3.01219462 \cdot 10^{35}$

Passaggio 14