Calcolo Esempi

$\int_{0}^{3} \frac{2}{x - 3^{3}} d x$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\int_{0}^{3} \frac{2}{x - 1 \cdot 27} d x$

Passaggio 1.2

Moltiplica $- 1$ per $27$ .

$\int_{0}^{3} \frac{2}{x - 27} d x$

Passaggio 2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{0}^{3} \frac{1}{x - 27} d x$

Passaggio 3

Sia $u = x - 27$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = x - 27$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $x - 27$ .

$\frac{d}{d x} [x - 27]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 27$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 27]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 27]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 27]$

Passaggio 3.1.4

Poiché $- 27$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 27$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 3.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 3.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = x - 27$ .

$u_{lower} = 0 - 27$

Passaggio 3.3

Sottrai $27$ da $0$ .

$u_{lower} = - 27$

Passaggio 3.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = x - 27$ .

$u_{upper} = 3 - 27$

Passaggio 3.5

Sottrai $27$ da $3$ .

$u_{upper} = - 24$

Passaggio 3.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 27$

$u_{upper} = - 24$

Passaggio 3.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$2 \int_{- 27}^{- 24} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$2 (\ln (| u |)]_{- 27}^{- 24})$

Passaggio 5

Calcola $\ln (| u |)$ per $- 24$ e per $- 27$ .

$2 (\ln (| - 24 |) - \ln (| - 27 |))$

Passaggio 6

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{| - 24 |}{| - 27 |})$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 24$ e $0$ è $24$ .

$2 \ln (\frac{24}{| - 27 |})$

Passaggio 7.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 27$ e $0$ è $27$ .

$2 \ln (\frac{24}{27})$

Passaggio 7.3

Elimina il fattore comune di $24$ e $27$ .

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Passaggio 7.3.1

Scomponi $3$ da $24$ .

$2 \ln (\frac{3 (8)}{27})$

Passaggio 7.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.3.2.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$2 \ln (\frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 9})$

Passaggio 7.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \ln (\frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 9})$

Passaggio 7.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \ln (\frac{8}{9})$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$2 \ln (\frac{8}{9})$

Forma decimale:

$- 0.23556607 \dots$

Passaggio 9