Calcolo Esempi

$\int_{0}^{3} \frac{1}{9 - y^{2}} d y$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{1}{3^{2} - y^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 3$ e $b = y$ .

$\frac{1}{(3 + y) (3 - y)}$

Passaggio 1.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{3 + y}$

Passaggio 1.1.3

$\frac{A}{3 + y} + \frac{B}{3 - y}$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(3 + y) (3 - y)$ .

$\frac{1 (3 + y) (3 - y)}{(3 + y) (3 - y)} = \frac{(A) (3 + y) (3 - y)}{3 + y} + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

Passaggio 1.1.5

Elimina il fattore comune di $3 + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (3 + y) (3 - y)}{(3 + y) (3 - y)} = \frac{(A) (3 + y) (3 - y)}{3 + y} + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

Passaggio 1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (3 - y)}{3 - y} = \frac{(A) (3 + y) (3 - y)}{3 + y} + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

Passaggio 1.1.6

Elimina il fattore comune di $3 - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (3 - y)}{3 - y} = \frac{(A) (3 + y) (3 - y)}{3 + y} + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

Passaggio 1.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{(A) (3 + y) (3 - y)}{3 + y} + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

Passaggio 1.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Elimina il fattore comune di $3 + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (3 + y) (3 - y)}{3 + y} + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

Passaggio 1.1.7.1.2

Dividi $(A) (3 - y)$ per $1$ .

$1 = (A) (3 - y) + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

Passaggio 1.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A \cdot 3 + A (- y) + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

Passaggio 1.1.7.3

Sposta $3$ alla sinistra di $A$ .

$1 = 3 \cdot A + A (- y) + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

Passaggio 1.1.7.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = 3 \cdot A - A y + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

Passaggio 1.1.7.5

Elimina il fattore comune di $3 - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.5.1

Elimina il fattore comune.

$1 = 3 A - A y + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

Passaggio 1.1.7.5.2

Dividi $(B) (3 + y)$ per $1$ .

$1 = 3 A - A y + (B) (3 + y)$

Passaggio 1.1.7.6

Applica la proprietà distributiva.

$1 = 3 A - A y + B \cdot 3 + B y$

Passaggio 1.1.7.7

Sposta $3$ alla sinistra di $B$ .

$1 = 3 A - A y + 3 B + B y$

Passaggio 1.1.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1

Sposta $A$ .

$1 = 3 A - y A + 3 B + B y$

Passaggio 1.1.8.2

Riordina $B$ e $y$ .

$1 = 3 A - y A + 3 B + B y$

Passaggio 1.1.8.3

Sposta $3 B$ .

$1 = 3 A - y A + B y + 3 B$

Passaggio 1.1.8.4

Sposta $3 A$ .

$1 = - y A + B y + 3 A + 3 B$

Passaggio 1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $y$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = - 1 A + B$

Passaggio 1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $y$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = 3 A + 3 B$

Passaggio 1.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = - 1 A + B$

$1 = 3 A + 3 B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = 3 A + 3 B$

Passaggio 1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Risolvi per $B$ in $0 = - 1 A + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $- 1 A + B = 0$ .

$- 1 A + B = 0$

$1 = 3 A + 3 B$

Passaggio 1.3.1.2

Riscrivi $- 1 A$ come $- A$ .

$- A + B = 0$

$1 = 3 A + 3 B$

Passaggio 1.3.1.3

Somma $A$ a entrambi i lati dell'equazione.

$B = A$

$1 = 3 A + 3 B$

$B = A$

$1 = 3 A + 3 B$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $A$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $1 = 3 A + 3 B$ con $A$ .

$1 = 3 A + 3 (A)$

$B = A$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Somma $3 A$ e $3 A$ .

$1 = 6 A$

$B = A$

$1 = 6 A$

$B = A$

$1 = 6 A$

$B = A$

Passaggio 1.3.3

Risolvi per $A$ in $1 = 6 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $6 A = 1$ .

$6 A = 1$

$B = A$

Passaggio 1.3.3.2

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 A = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 A = 1$ .

$\frac{6 A}{6} = \frac{1}{6}$

$B = A$

Passaggio 1.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 A}{6} = \frac{1}{6}$

$B = A$

Passaggio 1.3.3.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{1}{6}$

$B = A$

$A = \frac{1}{6}$

$B = A$

$A = \frac{1}{6}$

$B = A$

$A = \frac{1}{6}$

$B = A$

$A = \frac{1}{6}$

$B = A$

Passaggio 1.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $\frac{1}{6}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $B = A$ con $\frac{1}{6}$ .

$B = \frac{1}{6}$

$A = \frac{1}{6}$

Passaggio 1.3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$B = \frac{1}{6}$

$A = \frac{1}{6}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = \frac{1}{6}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = \frac{1}{6}$

Passaggio 1.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$B = \frac{1}{6}, A = \frac{1}{6}$

Passaggio 1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{3 + y} + \frac{B}{3 - y}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{6}}{3 + y} + \frac{\frac{1}{6}}{3 - y}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3 + y} + \frac{\frac{1}{6}}{3 - y}$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $\frac{1}{3 + y}$ .

$\frac{1}{6 (3 + y)} + \frac{\frac{1}{6}}{3 - y}$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{6 (3 + y)} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3 - y}$

Passaggio 1.5.4

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $\frac{1}{3 - y}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{1}{6 (3 + y)} + \frac{1}{6 (3 - y)} d y$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{3} \frac{1}{6 (3 + y)} d y + \int_{0}^{3} \frac{1}{6 (3 - y)} d y$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{6} \int_{0}^{3} \frac{1}{3 + y} d y + \int_{0}^{3} \frac{1}{6 (3 - y)} d y$

Passaggio 4

Sia $u_{1} = 3 + y$ . Allora $d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u_{1} = 3 + y$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $3 + y$ .

$\frac{d}{d y} [3 + y]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 + y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 4.1.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 4.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 4.2

Sostituisci $y$ con il limite inferiore in $u_{1} = 3 + y$ .

$u_{lower} = 3 + 0$

Passaggio 4.3

Somma $3$ e $0$ .

$u_{lower} = 3$

Passaggio 4.4

Sostituisci $y$ con il limite superiore in $u_{1} = 3 + y$ .

$u_{upper} = 3 + 3$

Passaggio 4.5

Somma $3$ e $3$ .

$u_{upper} = 6$

Passaggio 4.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 6$

Passaggio 4.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{1}{6} \int_{3}^{6} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{3} \frac{1}{6 (3 - y)} d y$

Passaggio 5

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{6} + \int_{0}^{3} \frac{1}{6 (3 - y)} d y$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{6} + \frac{1}{6} \int_{0}^{3} \frac{1}{3 - y} d y$

Passaggio 7

Sia $u_{2} = 3 - y$ . Allora $d u_{2} = - d y$ , quindi $- d u_{2} = d y$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sia $u_{2} = 3 - y$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 7.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 7.2

Sostituisci $y$ con il limite inferiore in $u_{2} = 3 - y$ .

$u_{lower} = 3 - 0$

Passaggio 7.3

Sottrai $0$ da $3$ .

$u_{lower} = 3$

Passaggio 7.4

Sostituisci $y$ con il limite superiore in $u_{2} = 3 - y$ .

$u_{upper} = 3 - 1 \cdot 3$

Passaggio 7.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$u_{upper} = 3 - 3$

Passaggio 7.5.2

Sottrai $3$ da $3$ .

$u_{upper} = 0$

Passaggio 7.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 0$

Passaggio 7.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{6} + \frac{1}{6} \int_{3}^{0} \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{6} + \frac{1}{6} \int_{3}^{0} - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{6} + \frac{1}{6} (- \int_{3}^{0} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 10

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{6} + \frac{1}{6} (- (\ln (| u_{2} |)]_{3}^{0}))$

Passaggio 11

$\frac{1}{6}$ e $\ln (| u_{2} |)]_{3}^{0}$ .

$\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{6} - \frac{\ln (| u_{2} |)]_{3}^{0}}{6}$

Passaggio 12

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Calcola $\ln (| u_{1} |)$ per $6$ e per $3$ .

$\frac{1}{6} ((\ln (| 6 |)) - \ln (| 3 |)) - \frac{\ln (| u_{2} |)]_{3}^{0}}{6}$

Passaggio 12.2

Calcola $\ln (| u_{2} |)$ per $0$ e per $3$ .

$\frac{1}{6} ((\ln (| 6 |)) - \ln (| 3 |)) - \frac{(\ln (| 0 |)) - \ln (| 3 |)}{6}$

Passaggio 12.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Per scrivere $\frac{1}{6} (\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |))$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{6} (\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |)) \cdot \frac{6}{6} - \frac{\ln (| 0 |) - \ln (| 3 |)}{6}$

Passaggio 12.3.2

$\frac{1}{6} (\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |))$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{\frac{1}{6} (\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |)) \cdot 6}{6} - \frac{\ln (| 0 |) - \ln (| 3 |)}{6}$

Passaggio 12.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{1}{6} (\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |)) \cdot 6 - (\ln (| 0 |) - \ln (| 3 |))}{6}$

Passaggio 12.3.4

$6$ e $\frac{1}{6}$ .

$\frac{\frac{6}{6} (\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |)) - (\ln (| 0 |) - \ln (| 3 |))}{6}$

Passaggio 12.3.5

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{6}{6} (\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |)) - (\ln (| 0 |) - \ln (| 3 |))}{6}$

Passaggio 12.3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |)) - (\ln (| 0 |) - \ln (| 3 |))}{6}$

Passaggio 12.3.6

Moltiplica $\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |)$ per $1$ .

$\frac{\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |) - (\ln (| 0 |) - \ln (| 3 |))}{6}$

Passaggio 13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 6 |}{| 3 |}) - (\ln (| 0 |) - \ln (| 3 |))}{6}$

Passaggio 13.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 6 |}{| 3 |}) - \ln (\frac{| 0 |}{| 3 |})}{6}$

Passaggio 13.3

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{| 6 |}{| 3 |}}{\frac{| 0 |}{| 3 |}})}{6}$

Passaggio 13.4

Riscrivi $\frac{\frac{| 6 |}{| 3 |}}{\frac{| 0 |}{| 3 |}}$ come un prodotto.

$\frac{\ln (\frac{| 6 |}{| 3 |} \cdot \frac{1}{\frac{| 0 |}{| 3 |}})}{6}$

Passaggio 13.5

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{| 0 |}{| 3 |}$ .

$\frac{\ln (\frac{| 6 |}{| 3 |} (1 \frac{| 3 |}{| 0 |}))}{6}$

Passaggio 13.6

Moltiplica $\frac{| 3 |}{| 0 |}$ per $1$ .

$\frac{\ln (\frac{| 6 |}{| 3 |} \cdot \frac{| 3 |}{| 0 |})}{6}$

Passaggio 13.7

Moltiplica $\frac{| 6 |}{| 3 |}$ per $\frac{| 3 |}{| 0 |}$ .

$\frac{\ln (\frac{| 6 | | 3 |}{| 3 | | 0 |})}{6}$

Passaggio 13.8

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\frac{\ln (\frac{| 6 \cdot 3 |}{| 3 | | 0 |})}{6}$

Passaggio 13.9

Moltiplica $6$ per $3$ .

$\frac{\ln (\frac{| 18 |}{| 3 | | 0 |})}{6}$

Passaggio 13.10

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\frac{\ln (\frac{| 18 |}{| 3 \cdot 0 |})}{6}$

Passaggio 13.11

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{\ln (\frac{| 18 |}{| 0 |})}{6}$

Passaggio 14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $0$ è $0$ .

$\frac{\ln (\frac{| 18 |}{0})}{6}$

Passaggio 14.2

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{\ln (\frac{| 18 |}{0})}{6}$

Passaggio 15

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito