Calcolo Esempi

$\int_{0}^{2 π} 8 \cos (2 t) d t$

Passaggio 1

Poiché $8$ è costante rispetto a $t$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$8 \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) d t$

Passaggio 2

Sia $u = 2 t$ . Allora $d u = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u = 2 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 2.2

Sostituisci $t$ con il limite inferiore in $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Passaggio 2.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 2.4

Sostituisci $t$ con il limite superiore in $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 (2 π)$

Passaggio 2.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$u_{upper} = 4 π$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4 π$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$8 \int_{0}^{4 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Passaggio 3

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$8 \int_{0}^{4 π} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$8 (\frac{1}{2} \int_{0}^{4 π} \cos (u) d u)$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

$\frac{1}{2}$ e $8$ .

$\frac{8}{2} \int_{0}^{4 π} \cos (u) d u$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int_{0}^{4 π} \cos (u) d u$

Passaggio 5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int_{0}^{4 π} \cos (u) d u$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int_{0}^{4 π} \cos (u) d u$

Passaggio 5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{1} \int_{0}^{4 π} \cos (u) d u$

Passaggio 5.2.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$4 \int_{0}^{4 π} \cos (u) d u$

Passaggio 6

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$4 (\sin (u)]_{0}^{4 π})$

Passaggio 7

Calcola $\sin (u)$ per $4 π$ e per $0$ .

$4 (\sin (4 π) - \sin (0))$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$4 (\sin (4 π) - 0)$

Passaggio 8.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$4 (\sin (4 π) + 0)$

Passaggio 8.3

Somma $\sin (4 π)$ e $0$ .

$4 \sin (4 π)$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$4 \sin (0)$

Passaggio 9.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$4 \cdot 0$

Passaggio 9.3

Moltiplica $4$ per $0$ .

$0$