Calcolo Esempi

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \cdot {(3 + \sin (4 x))}^{2} d x$

Passaggio 1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} {(3 + \sin (4 x))}^{2} d x$

Passaggio 2

Sia $u_{1} = 4 x$ . Allora $d u_{1} = 4 d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u_{1} = 4 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4$

Passaggio 2.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u_{1} = 4 x$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0$

Passaggio 2.3

Moltiplica $4$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 2.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u_{1} = 4 x$ .

$u_{upper} = 4 (2 π)$

Passaggio 2.5

Moltiplica $2$ per $4$ .

$u_{upper} = 8 π$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8 π$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{8 π} {(3 + \sin (u_{1}))}^{2} \frac{1}{4} d u_{1}$

Passaggio 3

${(3 + \sin (u_{1}))}^{2}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{8 π} \frac{{(3 + \sin (u_{1}))}^{2}}{4} d u_{1}$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \int_{0}^{8 π} {(3 + \sin (u_{1}))}^{2} d u_{1})$

Passaggio 5

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 2} \int_{0}^{8 π} {(3 + \sin (u_{1}))}^{2} d u_{1}$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} {(3 + \sin (u_{1}))}^{2} d u_{1}$

Passaggio 5.2

Espandi ${(3 + \sin (u_{1}))}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Riscrivi ${(3 + \sin (u_{1}))}^{2}$ come $(3 + \sin (u_{1})) (3 + \sin (u_{1}))$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} (3 + \sin (u_{1})) (3 + \sin (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 3 (3 + \sin (u_{1})) + \sin (u_{1}) (3 + \sin (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 3 \cdot 3 + 3 \sin (u_{1}) + \sin (u_{1}) (3 + \sin (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 5.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 3 \cdot 3 + 3 \sin (u_{1}) + \sin (u_{1}) \cdot 3 + \sin (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 5.2.5

Riordina $\sin (u_{1})$ e $3$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 3 \cdot 3 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \cdot \sin (u_{1}) + \sin (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 5.2.6

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \sin (u_{1}) + \sin (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 5.2.7

Eleva $\sin (u_{1})$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \sin (u_{1}) + \sin^{1} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 5.2.8

Eleva $\sin (u_{1})$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \sin (u_{1}) + \sin^{1} (u_{1}) \sin^{1} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 5.2.9

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \sin (u_{1}) + {\sin (u_{1})}^{1 + 1} d u_{1}$

Passaggio 5.2.10

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \sin (u_{1}) + \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 5.2.11

Somma $3 \sin (u_{1})$ e $3 \sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 6 \sin (u_{1}) + \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{8} (\int_{0}^{8 π} 9 d u_{1} + \int_{0}^{8 π} 6 \sin (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{8 π} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 7

Applica la regola costante.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + \int_{0}^{8 π} 6 \sin (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{8 π} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 8

Poiché $6$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 \int_{0}^{8 π} \sin (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{8 π} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 9

L'integrale di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \int_{0}^{8 π} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 10

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\sin^{2} (u_{1})$ come $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \int_{0}^{8 π} \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1})$

Passaggio 11

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} \int_{0}^{8 π} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 12

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (\int_{0}^{8 π} d u_{1} + \int_{0}^{8 π} - \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Passaggio 13

Applica la regola costante.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} + \int_{0}^{8 π} - \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Passaggio 14

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \int_{0}^{8 π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Passaggio 15

Sia $u_{2} = 2 u_{1}$ . Allora $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sia $u_{2} = 2 u_{1}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

Differenzia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Passaggio 15.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $2 u_{1}$ rispetto a $u_{1}$ è $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 15.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 15.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 15.2

Sostituisci $u_{1}$ con il limite inferiore in $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Passaggio 15.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 15.4

Sostituisci $u_{1}$ con il limite superiore in $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{upper} = 2 (8 π)$

Passaggio 15.5

Moltiplica $8$ per $2$ .

$u_{upper} = 16 π$

Passaggio 15.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 16 π$

Passaggio 15.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \int_{0}^{16 π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}))$

Passaggio 16

$\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \int_{0}^{16 π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}))$

Passaggio 17

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{16 π} \cos (u_{2}) d u_{2})))$

Passaggio 18

L'integrale di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{16 π}))$

Passaggio 19

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 19.1

Calcola $9 u_{1}$ per $8 π$ e per $0$ .

$\frac{1}{8} ((9 (8 π)) - 9 \cdot 0 + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{16 π}))$

Passaggio 19.2

Calcola $- \cos (u_{1})$ per $8 π$ e per $0$ .

$\frac{1}{8} (9 (8 π) - 9 \cdot 0 + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{16 π}))$

Passaggio 19.3

Calcola $u_{1}$ per $8 π$ e per $0$ .

$\frac{1}{8} (9 (8 π) - 9 \cdot 0 + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((8 π) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{16 π}))$

Passaggio 19.4

Calcola $\sin (u_{2})$ per $16 π$ e per $0$ .

$\frac{1}{8} (9 (8 π) - 9 \cdot 0 + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((8 π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (16 π)) - \sin (0))))$

Passaggio 19.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.5.1

Moltiplica $8$ per $9$ .

$\frac{1}{8} (72 π - 9 \cdot 0 + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((8 π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (16 π)) - \sin (0))))$

Passaggio 19.5.2

Moltiplica $- 9$ per $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((8 π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (16 π)) - \sin (0))))$

Passaggio 19.5.3

Somma $72 π$ e $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((8 π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (16 π)) - \sin (0))))$

Passaggio 19.5.4

Somma $8 π$ e $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{1}{2} (\sin (16 π) - \sin (0))))$

Passaggio 20

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{1}{2} (\sin (16 π) - \sin (0))))$

Passaggio 20.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{1}{2} (\sin (16 π) - 0)))$

Passaggio 20.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{1}{2} (\sin (16 π) + 0)))$

Passaggio 20.4

Somma $\sin (16 π)$ e $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{1}{2} \sin (16 π)))$

Passaggio 20.5

$\sin (16 π)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

Passaggio 21

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (0) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

Passaggio 21.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- 1 \cdot 1 + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

Passaggio 21.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- 1 + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

Passaggio 21.4

Somma $- 1$ e $1$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 \cdot 0 + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

Passaggio 21.5

Moltiplica $6$ per $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

Passaggio 21.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.6.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (0)}{2}))$

Passaggio 21.6.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π - \frac{0}{2}))$

Passaggio 21.7

Dividi $0$ per $2$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π - 0))$

Passaggio 21.8

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π + 0))$

Passaggio 21.9

Somma $8 π$ e $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π))$

Passaggio 21.10

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.10.1

Scomponi $2$ da $8 π$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (2 (4 π)))$

Passaggio 21.10.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (2 (4 π)))$

Passaggio 21.10.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + 4 π)$

Passaggio 21.11

Somma $72 π$ e $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 4 π)$

Passaggio 21.12

Somma $72 π$ e $4 π$ .

$\frac{1}{8} (76 π)$

Passaggio 21.13

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.13.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{1}{4 (2)} (76 π)$

Passaggio 21.13.2

Scomponi $4$ da $76 π$ .

$\frac{1}{4 (2)} (4 (19 π))$

Passaggio 21.13.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4 \cdot 2} (4 (19 π))$

Passaggio 21.13.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} (19 π)$

Passaggio 21.14

$19$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{19}{2} π$

Passaggio 21.15

$\frac{19}{2}$ e $π$ .

$\frac{19 π}{2}$

Passaggio 22

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{19 π}{2}$

Forma decimale:

$29.84513020 \dots$