Calcolo Esempi

$\int_{0}^{2 π} \cos^{2} (x) \sin (x) d x$

Passaggio 1

Sia $u = \cos (x)$ . Allora $d u = - \sin (x) d x$ , quindi $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \cos (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Passaggio 1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (2 π)$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$u_{upper} = \cos (0)$

Passaggio 1.5.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{1} - u^{2} d u$

Passaggio 2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{1}^{1} u^{2} d u$

Passaggio 3

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{1})$

Passaggio 4

$\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{1})$

Passaggio 5

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 5.1

Calcola $\frac{u^{3}}{3}$ per $1$ e per $1$ .

$- ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- (\frac{1}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Passaggio 5.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- (\frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Passaggio 5.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1 - 1}{3}$

Passaggio 5.2.4

Sottrai $1$ da $1$ .

$- \frac{0}{3}$

Passaggio 5.2.5

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

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Passaggio 5.2.5.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$- \frac{3 (0)}{3}$

Passaggio 5.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$- \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{0}{1}$

Passaggio 5.2.5.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$- 0$

Passaggio 5.2.6

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0$