Calcolo Esempi

$\int_{0}^{2} x \sqrt[3]{4 + x^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 4 + x^{2}$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 4 + x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $4 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 + x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Passaggio 1.1.5

Somma $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 4 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 4 + 0^{2}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $4$ e $0$ .

$u_{lower} = 4$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 4 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 4 + 2^{2}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$u_{upper} = 4 + 4$

Passaggio 1.5.2

Somma $4$ e $4$ .

$u_{upper} = 8$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 8$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{4}^{8} \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

$\sqrt[3]{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{4}^{8} \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

Passaggio 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{u}$ come $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{8} u^{\frac{1}{3}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $u$ è $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{4}^{8}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ per $8$ e per $4$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 6.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 6.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 6.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 6.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 6.2.4

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 6.2.5

$\frac{3}{4}$ e $16$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 6.2.6

Moltiplica $3$ per $16$ .

$\frac{1}{2} (\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 6.2.7

Elimina il fattore comune di $48$ e $4$ .

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Passaggio 6.2.7.1

Scomponi $4$ da $48$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 6.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.2.7.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 6.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 6.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} (\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 6.2.7.2.4

Dividi $12$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (12 - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 6.2.8

$4^{\frac{4}{3}}$ e $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{2} (12 - \frac{4^{\frac{4}{3}} \cdot 3}{4})$

Passaggio 6.2.9

Sposta $3$ alla sinistra di $4^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (12 - \frac{3 \cdot 4^{\frac{4}{3}}}{4})$

Passaggio 6.2.10

Sposta $4^{1}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{4}{3}} \cdot 4^{- 1}))$

Passaggio 6.2.11

Moltiplica $4^{\frac{4}{3}}$ per $4^{- 1}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.2.11.1

Sposta $4^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot (4^{- 1} \cdot 4^{\frac{4}{3}})))$

Passaggio 6.2.11.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{- 1 + \frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.2.11.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.2.11.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.2.11.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{- 1 \cdot 3 + 4}{3}}))$

Passaggio 6.2.11.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.2.11.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{- 3 + 4}{3}}))$

Passaggio 6.2.11.6.2

Somma $- 3$ e $4$ .

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}))$

Passaggio 6.2.12

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} (12 - 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} \cdot 12 + \frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.2.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (6)) + \frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 6) + \frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$6 + \frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 7.3

Moltiplica $\frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$ .

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Passaggio 7.3.1

$- 3$ e $\frac{1}{2}$ .

$6 + \frac{- 3}{2} \cdot 4^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 7.3.2

$\frac{- 3}{2}$ e $4^{\frac{1}{3}}$ .

$6 + \frac{- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{2}$

Passaggio 7.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$6 - \frac{3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{2}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$6 - \frac{3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{2}$

Forma decimale:

$3.61889842 \dots$

Passaggio 9