Calcolo Esempi

$\int_{0}^{2} 18 {(3 x + 1)}^{5} d x$

Passaggio 1

Poiché $18$ è costante rispetto a $x$ , sposta $18$ fuori dall'integrale.

$18 \int_{0}^{2} {(3 x + 1)}^{5} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 3 x + 1$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u = 3 x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 + 0$

Passaggio 2.1.4.2

Somma $3$ e $0$ .

$3$

Passaggio 2.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 3 x + 1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0 + 1$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Passaggio 2.3.2

Somma $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 2.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 3 x + 1$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 2 + 1$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$u_{upper} = 6 + 1$

Passaggio 2.5.2

Somma $6$ e $1$ .

$u_{upper} = 7$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 7$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$18 \int_{1}^{7} u^{5} \frac{1}{3} d u$

Passaggio 3

$u^{5}$ e $\frac{1}{3}$ .

$18 \int_{1}^{7} \frac{u^{5}}{3} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$18 (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} u^{5} d u)$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

$\frac{1}{3}$ e $18$ .

$\frac{18}{3} \int_{1}^{7} u^{5} d u$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $18$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $3$ da $18$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3} \int_{1}^{7} u^{5} d u$

Passaggio 5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3 (1)} \int_{1}^{7} u^{5} d u$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 6}{3 \cdot 1} \int_{1}^{7} u^{5} d u$

Passaggio 5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{6}{1} \int_{1}^{7} u^{5} d u$

Passaggio 5.2.2.4

Dividi $6$ per $1$ .

$6 \int_{1}^{7} u^{5} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{5}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$6 (\frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{7})$

Passaggio 7

$\frac{1}{6}$ e $u^{6}$ .

$6 (\frac{u^{6}}{6}]_{1}^{7})$

Passaggio 8

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Calcola $\frac{u^{6}}{6}$ per $7$ e per $1$ .

$6 ((\frac{7^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6})$

Passaggio 8.2

Semplifica.

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Passaggio 8.2.1

Eleva $7$ alla potenza di $6$ .

$6 (\frac{117649}{6} - \frac{1^{6}}{6})$

Passaggio 8.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$6 (\frac{117649}{6} - \frac{1}{6})$

Passaggio 8.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$6 \frac{117649 - 1}{6}$

Passaggio 8.2.4

Sottrai $1$ da $117649$ .

$6 (\frac{117648}{6})$

Passaggio 8.2.5

Elimina il fattore comune di $117648$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.5.1

Scomponi $6$ da $117648$ .

$6 \frac{6 \cdot 19608}{6}$

Passaggio 8.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.5.2.1

Scomponi $6$ da $6$ .

$6 \frac{6 \cdot 19608}{6 (1)}$

Passaggio 8.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$6 \frac{6 \cdot 19608}{6 \cdot 1}$

Passaggio 8.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$6 (\frac{19608}{1})$

Passaggio 8.2.5.2.4

Dividi $19608$ per $1$ .

$6 \cdot 19608$

Passaggio 8.2.6

Moltiplica $6$ per $19608$ .

$117648$

Passaggio 9