Calcolo Esempi

$\int_{- 0.5}^{0.5} 4 \cos (π x) - (12 x^{2} - 3) d x$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 0.5}^{0.5} 4 \cos (π x) d x + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Passaggio 2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int_{- 0.5}^{0.5} \cos (π x) d x + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Passaggio 3

Sia $u = π x$ . Allora $d u = π d x$ , quindi $\frac{1}{π} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u = π x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Passaggio 3.1.2

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π x$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 3.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = π x$ .

$u_{lower} = π \cdot - 0.5$

Passaggio 3.3

Moltiplica $π$ per $- 0.5$ .

$u_{lower} = - 1.57079632$

Passaggio 3.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = π x$ .

$u_{upper} = π \cdot 0.5$

Passaggio 3.5

Moltiplica $π$ per $0.5$ .

$u_{upper} = 1.57079632$

Passaggio 3.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 1.57079632$

$u_{upper} = 1.57079632$

Passaggio 3.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$4 \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \cos (u) \frac{1}{π} d u + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Passaggio 4

$\cos (u)$ e $\frac{1}{π}$ .

$4 \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \frac{\cos (u)}{π} d u + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{π}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{π}$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{1}{π} \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \cos (u) d u) + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Passaggio 6

$\frac{1}{π}$ e $4$ .

$\frac{4}{π} \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \cos (u) d u + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Passaggio 7

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Passaggio 8

Moltiplica $- (12 x^{2} - 3)$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2}) - - 3 d x$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $12$ per $- 1$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - 12 x^{2} - - 3 d x$

Passaggio 9.2

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - 12 x^{2} + 3 d x$

Passaggio 10

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - 12 x^{2} d x + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

Passaggio 11

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 12$ fuori dall'integrale.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 \int_{- 0.5}^{0.5} x^{2} d x + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

Passaggio 12

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

Passaggio 13

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

Passaggio 14

Applica la regola costante.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + 3 x]_{- 0.5}^{0.5}$

Passaggio 15

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Calcola $\sin (u)$ per $1.57079632$ e per $- 1.57079632$ .

$\frac{4}{π} ((\sin (1.57079632)) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + 3 x]_{- 0.5}^{0.5}$

Passaggio 15.2

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $0.5$ e per $- 0.5$ .

$\frac{4}{π} ((\sin (1.57079632)) - \sin (- 1.57079632)) - 12 ((\frac{{0.5}^{3}}{3}) - \frac{{(- 0.5)}^{3}}{3}) + 3 x]_{- 0.5}^{0.5}$

Passaggio 15.3

Calcola $3 x$ per $0.5$ e per $- 0.5$ .

$\frac{4}{π} ((\sin (1.57079632)) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{{0.5}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.5)}^{3}}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Passaggio 15.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1

Eleva $0.5$ alla potenza di $3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} - \frac{{(- 0.5)}^{3}}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Passaggio 15.4.2

Eleva $- 0.5$ alla potenza di $3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} - \frac{- 0.125}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Passaggio 15.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} - - \frac{0.125}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Passaggio 15.4.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} + 1 (\frac{0.125}{3})) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Passaggio 15.4.5

Moltiplica $\frac{0.125}{3}$ per $1$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} + \frac{0.125}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Passaggio 15.4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 \frac{0.125 + 0.125}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Passaggio 15.4.7

Somma $0.125$ e $0.125$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.25}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Passaggio 15.4.8

$- 12$ e $\frac{0.25}{3}$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{- 12 \cdot 0.25}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Passaggio 15.4.9

Moltiplica $- 12$ per $0.25$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{- 3}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Passaggio 15.4.10

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.10.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{3 \cdot - 1}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Passaggio 15.4.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.10.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Passaggio 15.4.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Passaggio 15.4.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{- 1}{1} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Passaggio 15.4.10.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Passaggio 15.4.11

Moltiplica $3$ per $0.5$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 1.5 - 3 \cdot - 0.5$

Passaggio 15.4.12

Moltiplica $- 3$ per $- 0.5$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 1.5 + 1.5$

Passaggio 15.4.13

Somma $1.5$ e $1.5$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 3$

Passaggio 15.4.14

Somma $- 1$ e $3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + 2$

Passaggio 16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4}{π} \sin (1.57079632) + \frac{4}{π} (- \sin (- 1.57079632)) + 2$

Passaggio 16.1.2

$\frac{4}{π}$ e $\sin (1.57079632)$ .

$\frac{4 \sin (1.57079632)}{π} + \frac{4}{π} (- \sin (- 1.57079632)) + 2$

Passaggio 16.1.3

$\frac{4}{π}$ e $\sin (- 1.57079632)$ .

$\frac{4 \sin (1.57079632)}{π} - \frac{4 \sin (- 1.57079632)}{π} + 2$

Passaggio 16.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.4.1

Calcola $\sin (1.57079632)$ .

$\frac{4 \cdot 1}{π} - \frac{4 \sin (- 1.57079632)}{π} + 2$

Passaggio 16.1.4.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{4}{π} - \frac{4 \sin (- 1.57079632)}{π} + 2$

Passaggio 16.1.4.3

Calcola $\sin (- 1.57079632)$ .

$\frac{4}{π} - \frac{4 \cdot - 1}{π} + 2$

Passaggio 16.1.4.4

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{4}{π} - \frac{- 4}{π} + 2$

Passaggio 16.1.4.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{4}{π} - - \frac{4}{π} + 2$

Passaggio 16.1.4.6

Moltiplica $- - \frac{4}{π}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{4}{π} + 1 \frac{4}{π} + 2$

Passaggio 16.1.4.6.2

Moltiplica $\frac{4}{π}$ per $1$ .

$\frac{4}{π} + \frac{4}{π} + 2$

Passaggio 16.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 + 4}{π} + 2$

Passaggio 16.1.6

Somma $4$ e $4$ .

$\frac{8}{π} + 2$

Passaggio 16.2

Somma $\frac{8}{π}$ e $2$ .

$4.54647908$