Calcolo Esempi

$\int_{1}^{e^{4}} \frac{\ln ({(x)}^{3})}{x} d x$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{\ln (x^{3})}{x}$ come $\frac{3 \ln (x)}{x}$ .

$\int_{1}^{e^{4}} \frac{3 \ln (x)}{x} d x$

Passaggio 2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int_{1}^{e^{4}} \frac{\ln (x)}{x} d x$

Passaggio 3

Sia $u = \ln (x)$ . Allora $d u = \frac{1}{x} d x$ , quindi $x d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u = \ln (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 3.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Passaggio 3.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 3.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e^{4})$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $4$ dall'esponente.

$u_{upper} = 4 \ln (e)$

Passaggio 3.5.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 1$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$u_{upper} = 4$

Passaggio 3.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4$

Passaggio 3.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$3 \int_{0}^{4} u d u$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{4})$

Passaggio 5

$\frac{1}{2}$ e $u^{2}$ .

$3 (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Calcola $\frac{u^{2}}{2}$ per $4$ e per $0$ .

$3 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$3 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 6.2.2

Elimina il fattore comune di $16$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 6.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 6.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 6.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$3 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 6.2.2.2.4

Dividi $8$ per $1$ .

$3 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 6.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$3 (8 - \frac{0}{2})$

Passaggio 6.2.4

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$3 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

Passaggio 6.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Passaggio 6.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Passaggio 6.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$3 (8 - \frac{0}{1})$

Passaggio 6.2.4.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$3 (8 - 0)$

Passaggio 6.2.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$3 (8 + 0)$

Passaggio 6.2.6

Somma $8$ e $0$ .

$3 \cdot 8$

Passaggio 6.2.7

Moltiplica $3$ per $8$ .

$24$