Calcolo Esempi

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{\ln (x)}{x} d x$

Passaggio 1

Sia $u = \ln (x)$ . Allora $d u = \frac{1}{x} d x$ , quindi $x d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \ln (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Passaggio 1.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e^{2})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $2$ dall'esponente.

$u_{upper} = 2 \ln (e)$

Passaggio 1.5.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$u_{upper} = 2$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{2} u d u$

Passaggio 2

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{2}$

Passaggio 3

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 3.1

Calcola $\frac{1}{2} u^{2}$ per $2$ e per $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Passaggio 3.2.2

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\frac{4}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Passaggio 3.2.3

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Passaggio 3.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Passaggio 3.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Passaggio 3.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Passaggio 3.2.3.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$2 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Passaggio 3.2.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$2 - \frac{1}{2} \cdot 0$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$2 + 0 (\frac{1}{2})$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica $0$ per $\frac{1}{2}$ .

$2 + 0$

Passaggio 3.2.7

Somma $2$ e $0$ .

$2$