Calcolo Esempi

$\int_{0}^{π} 2 \sin^{4} (x) d x$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{0}^{π} \sin^{4} (x) d x$

Passaggio 2

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 \int_{0}^{π} {\sin (x)}^{2 (2)} d x$

Passaggio 2.2

Riscrivi ${\sin (x)}^{2 (2)}$ come un elevamento a potenza.

$2 \int_{0}^{π} {(\sin^{2} (x))}^{2} d x$

Passaggio 3

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\sin^{2} (x)$ come $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$2 \int_{0}^{π} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{2})}^{2} d x$

Passaggio 4

Sia $u_{1} = 2 x$ . Allora $d u_{1} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u_{1} = 2 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 4.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u_{1} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Passaggio 4.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 4.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u_{1} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

Passaggio 4.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Passaggio 4.6

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$2 \int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1})$

Passaggio 6

Semplifica moltiplicando.

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Passaggio 6.1

Semplifica.

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Passaggio 6.1.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Passaggio 6.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} \int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Passaggio 6.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Passaggio 6.1.3

Moltiplica $\int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$ per $1$ .

$\int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Passaggio 6.2

Riscrivi $\frac{1 - \cos (u_{1})}{2}$ come un prodotto.

$\int_{0}^{2 π} {(\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1})))}^{2} d u_{1}$

Passaggio 6.3

Espandi ${(\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1})))}^{2}$ .

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Passaggio 6.3.1

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Passaggio 6.3.2