Calcolo Esempi

$\int_{0}^{π} 5 {(5 - 4 \cos (t))}^{\frac{1}{4}} \sin (t) d t$

Passaggio 1

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int_{0}^{π} {(5 - 4 \cos (t))}^{\frac{1}{4}} \sin (t) d t$

Passaggio 2

Sia $u = 5 - 4 \cos (t)$ . Allora $d u = 4 \sin (t) d t$ , quindi $\frac{1}{4} d u = \sin (t) d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 5 - 4 \cos (t)$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $5 - 4 \cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [5 - 4 \cos (t)]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

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Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 - 4 \cos (t)$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $5$ rispetto a $t$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 4 \cos (t)$ rispetto a $t$ è $- 4 \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Passaggio 2.1.3.2

La derivata di $\cos (t)$ rispetto a $t$ è $- \sin (t)$ .

$0 - 4 (- \sin (t))$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$0 + 4 \sin (t)$

Passaggio 2.1.4

Somma $0$ e $4 \sin (t)$ .

$4 \sin (t)$

Passaggio 2.2

Sostituisci $t$ con il limite inferiore in $u = 5 - 4 \cos (t)$ .

$u_{lower} = 5 - 4 \cos (0)$

Passaggio 2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$u_{lower} = 5 - 4 \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$u_{lower} = 5 - 4$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $4$ da $5$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 2.4

Sostituisci $t$ con il limite superiore in $u = 5 - 4 \cos (t)$ .

$u_{upper} = 5 - 4 \cos (π)$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.5.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$u_{upper} = 5 - 4 (- \cos (0))$

Passaggio 2.5.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$u_{upper} = 5 - 4 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 2.5.1.3

Moltiplica $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Passaggio 2.5.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$u_{upper} = 5 - 4 \cdot - 1$

Passaggio 2.5.1.3.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$u_{upper} = 5 + 4$

Passaggio 2.5.2

Somma $5$ e $4$ .

$u_{upper} = 9$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$5 \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4}} \frac{1}{4} d u$

Passaggio 3

$u^{\frac{1}{4}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$5 \int_{1}^{9} \frac{u^{\frac{1}{4}}}{4} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$5 (\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4}} d u)$

Passaggio 5

$\frac{1}{4}$ e $5$ .

$\frac{5}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4}} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{4}}$ rispetto a $u$ è $\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{5}{4} \frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}]_{1}^{9}$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.1

Calcola $\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}$ per $9$ e per $1$ .

$\frac{5}{4} ((\frac{4}{5} \cdot 9^{\frac{5}{4}}) - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

$\frac{4}{5}$ e $9^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Passaggio 7.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{5}{4} (\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1)$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4}{5})$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} + \frac{5}{4} (- \frac{4}{5})$

Passaggio 8.2

Combina.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{5}{4} (- \frac{4}{5})$

Passaggio 8.3

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 8.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{4}{5}$ nel numeratore.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{5}{4} \cdot \frac{- 4}{5}$

Passaggio 8.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{5}{4} \cdot \frac{- 4}{5}$

Passaggio 8.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{1}{4} \cdot - 4$

Passaggio 8.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 8.4.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{1}{4} \cdot (4 (- 1))$

Passaggio 8.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Passaggio 8.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} - 1$

Passaggio 8.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} - 1$

Passaggio 8.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{4} - 1$

Passaggio 8.5.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{4} - 1$

Passaggio 8.5.4

Dividi $9^{\frac{5}{4}}$ per $1$ .

$9^{\frac{5}{4}} - 1$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$9^{\frac{5}{4}} - 1$

Forma decimale:

$14.58845726 \dots$