Calcolo Esempi

$\int_{0}^{π} 7 \sin (x) + \sin (7 x) d x$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{π} 7 \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin (7 x) d x$

Passaggio 2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , sposta $7$ fuori dall'integrale.

$7 \int_{0}^{π} \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin (7 x) d x$

Passaggio 3

L'integrale di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \cos (x)$ .

$7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} \sin (7 x) d x$

Passaggio 4

Sia $u = 7 x$ . Allora $d u = 7 d x$ , quindi $\frac{1}{7} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u = 7 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $7$ per $1$ .

$7$

Passaggio 4.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 7 x$ .

$u_{lower} = 7 \cdot 0$

Passaggio 4.3

Moltiplica $7$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 4.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 7 x$ .

$u_{upper} = 7 π$

Passaggio 4.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 7 π$

Passaggio 4.6

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{7 π} \sin (u) \frac{1}{7} d u$

Passaggio 5

$\sin (u)$ e $\frac{1}{7}$ .

$7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{7 π} \frac{\sin (u)}{7} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{7}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{7}$ fuori dall'integrale.

$7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{7} \int_{0}^{7 π} \sin (u) d u$

Passaggio 7

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{7} - \cos (u)]_{0}^{7 π}$

Passaggio 8

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 8.1

Calcola $- \cos (x)$ per $π$ e per $0$ .

$7 ((- \cos (π)) + \cos (0)) + \frac{1}{7} - \cos (u)]_{0}^{7 π}$

Passaggio 8.2

Calcola $- \cos (u)$ per $7 π$ e per $0$ .

$7 ((- \cos (π)) + \cos (0)) + \frac{1}{7} ((- \cos (7 π)) + \cos (0))$

Passaggio 8.3

Rimuovi le parentesi.

$7 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + \cos (0))$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$7 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + \cos (0))$

Passaggio 9.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$7 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$7 (- - \cos (0) + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

Passaggio 10.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$7 (- (- 1 \cdot 1) + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

Passaggio 10.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$7 (- - 1 + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

Passaggio 10.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$7 (1 + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

Passaggio 10.5

Somma $1$ e $1$ .

$7 \cdot 2 + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

Passaggio 10.6

Moltiplica $7$ per $2$ .

$14 + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

Passaggio 10.7

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$14 + \frac{1}{7} (- \cos (π) + 1)$

Passaggio 10.8

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$14 + \frac{1}{7} (- - \cos (0) + 1)$

Passaggio 10.9

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$14 + \frac{1}{7} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

Passaggio 10.10

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$14 + \frac{1}{7} (- - 1 + 1)$

Passaggio 10.11

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$14 + \frac{1}{7} (1 + 1)$

Passaggio 10.12

Somma $1$ e $1$ .

$14 + \frac{1}{7} \cdot 2$

Passaggio 10.13

$\frac{1}{7}$ e $2$ .

$14 + \frac{2}{7}$

Passaggio 10.14

Per scrivere $14$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{7}{7}$ .

$14 \cdot \frac{7}{7} + \frac{2}{7}$

Passaggio 10.15

$14$ e $\frac{7}{7}$ .

$\frac{14 \cdot 7}{7} + \frac{2}{7}$

Passaggio 10.16

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{14 \cdot 7 + 2}{7}$

Passaggio 10.17

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 10.17.1

Moltiplica $14$ per $7$ .

$\frac{98 + 2}{7}$

Passaggio 10.17.2

Somma $98$ e $2$ .

$\frac{100}{7}$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{100}{7}$

Forma decimale:

$14.28571428 \dots$

Forma numero misto:

$14 \frac{2}{7}$