Calcolo Esempi

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x \ln ({(x)}^{p})} d x$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{1}{x \ln (x^{p})}$ come $\frac{1}{x (p \ln (x))}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x (p \ln (x))} d x$

Passaggio 2

Poiché $\frac{1}{p}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{p}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{p} \int_{1}^{2} \frac{1}{x (\ln (x))} d x$

Passaggio 3

Sia $u = \ln (x)$ . Allora $d u = \frac{1}{x} d x$ , quindi $x d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = \ln (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 3.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Passaggio 3.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 3.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (2)$

Passaggio 3.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (2)$

Passaggio 3.6

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{1}{p} \int_{0}^{\ln (2)} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{p} \ln (| u |)]_{0}^{\ln (2)}$

Passaggio 5

$\frac{1}{p}$ e $\ln (| u |)]_{0}^{\ln (2)}$ .

$\frac{\ln (| u |)]_{0}^{\ln (2)}}{p}$

Passaggio 6

Calcola $\ln (| u |)$ per $\ln (2)$ e per $0$ .

$\frac{\ln (| \ln (2) |) - \ln (| 0 |)}{p}$

Passaggio 7

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{| \ln (2) |}{| 0 |})}{p}$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $0$ è $0$ .

$\frac{\ln (\frac{| \ln (2) |}{0})}{p}$

Passaggio 8.2

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{\ln (\frac{| \ln (2) |}{0})}{p}$

Passaggio 9

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito